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数字涂色问题概述
数字涂色问题是华为OD机试中的一类经典
算法题目，主要考察考生的编程能力和对复杂问题的解决能力。该问题不仅涉及基本的
数据结构和
算法应用，还需要考虑时间效率以及空间优化等问题[^1]。
以下是针对此问题的具体分析与解决方案：
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#### 问题描述
给定一组连续区间 `[a, b]` 和若干颜色编号 `c`，要求将这些区间的整数点按照指定的颜色进行标记。最终统计每种颜色覆盖了多少个不同的整数点，并返回结果列表。需要注意的是，某些区域可能会被多次重复
涂色，因此需要去重计算每个颜色的实际覆盖范围[^3]。
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#### 解决方案
为了高效完成这一任务，可以采用如下
方法：
1
. **离散化处理**：通过记录所有可能的关键点来减少不必要的遍历操作；
2
. **差分数组技术**：利用差分数组快速求解区间叠加效果；
3
. **哈希表辅助计数**：借助集合或者映射存储已访问过的节点及其对应属性。
下面分别给出 C++、Java、
JavaScript 及 Python 的具体实现版本并附带相应解释说明。
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##### 实现代码 (Python)
```python
def color_count(n, operations):
from collections import defaultdict
points = set()
colors = defaultdict(int)
for op in operations:
start, end, c = op
# 添加边界点用于后续排序
points
.update(range(start, end + 1))
sorted_points = sorted(points)
point_map = {v: i for i, v in enumerate(sorted_points)}
diff_array = [
0] * len(point_map)
for s, e, col in operations:
if s in point_map and e in point_map:
diff_array[point_map[s]] += 1
if e + 1 < len(sorted_points):
diff_array[point_map[e]+1] -= 1
current_color =
0
prev_index = None
active_colors = set()
result = {}
for idx, val in enumerate(diff_array):
current_color += val
if current_color >
0:
active_colors
.add(col) # 假设col为当前活跃颜色
if prev_index is not None:
length = sorted_points[idx]-sorted_points[prev_index]
for ac in list(active_colors):
if ac !=
0:
result[ac] = result
.get(ac,
0)+length
prev_index = idx
res_list = []
for k in range(1,n+1):
res_list
.append(result[k])
return res_list
```
上述函数接受两个参数：总共有多少种不同颜色数目 n；还有就是一系列的操作 ops 表达式形式表示每次染色行为 `(start,end,color)` 。最后它会输出一个长度等于n的结果向量其中第i项代表颜色i所占据的位置数量[^1]。
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##### 实现代码 (C++)
```cpp
#include <bits/stdc++
.h>
using namespace std;
vector<int> countColors(int m, vector<vector<int>>& queries){
map<long long,int> mp;
int max_val=INT_MIN,min_val=INT_MAX;
for(auto &q :queries){
min_val=min(min_val,q[
0]);
max_val=max(max_val,q[1]);
++mp[q[
0]];
--mp[(long long)(q[1])+1];
}
unordered_set<int>s;
vector<pair<int,char>>vec;
vec
.reserve(mp
.size());
for(auto &[k,v]:mp){vec
.emplace_back(k,'s');}
sort(vec
.begin(),vec
.end());
char pre='e';
long long sum=
0,res[m+1],cnt=
0;
memset(res,
0,sizeof(res));
for(size_t i=
0;i<vec
.size();i++){
auto &[pos,ch]=vec[i];
if(pre=='s'&&ch=='s'){
cnt++;
continue;
}else{
if(s
.empty())continue;
res[*s
.begin()]+= pos-(pre=='s'?last_pos:last_pos+1);
}
last_pos=pos;
pre=ch;
}
vector<int>ans(m+1,
0);
for(int j=1;j<=m;++j) ans[j]=res[j];
return ans;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);cin
.tie(NULL);
int q,m; cin >> m >> q;
vector<vector<int>>query(q,vector<int>(3));
for(auto &x: query) cin >> x[
0] >> x[1] >> x[2];
auto ret=countColors(m,query);
for(int i=1;i<=m;i++) cout <<ret[i]<<" ";
return
0;
}
```
---
##### 实现代码 (Java)
```java
import java
.util
.*;
public class ColorCoverage {
public static List<Integer> getColorCounts(List<List<Integer>> intervals, int numColors) {
Map<Integer,Integer> freqMap=new TreeMap<>();
Set<Integer> allPoints=new HashSet<>();
// Collecting unique points
.
for(var interval:intervals){
allPoints
.addAll(IntStream
.rangeClosed(interval
.get(
0),interval
.get(1))
.boxed()
.toList());
}
var sortedList=allPoints
.stream()
.sorted()
.collect(Collectors
.toList());
Map<Integer,Integer> indexMapping=new HashMap<>();
for(int i=
0;i<sortedList
.size();i++)indexMapping
.put(sortedList
.get(i),i);
int[] diffs=new int[indexMapping
.size()+2];
for(var interval:intervals){
Integer l=indexMapping
.getOrDefault(interval
.get(
0),null);
Integer r=indexMapping
.getOrDefault(interval
.get(1),null);
if(l!=null && r!=null){
diffs[l]++;
diffs[r+1]--;
}
}
List<Integer> results=new ArrayList<>(Collections
.nCopies(numColors+1,
0));
int runningSum=
0;
boolean[] isActive=new boolean[numColors+1];
Arrays
.fill(isActive,false);
for(int i=
0;i<diffs
.length-1;i++){
runningSum+=diffs[i];
updateActives(runningSum,isActive,numColors);
if(!isActive[intervals
.get(i)
.get(2)])continue;
int dist=Math
.abs(sortedList
.get(i)-sortedList
.get(i-1))+1;
synchronized(results){
results
.set(intervals
.get(i)
.get(2),
results
.get(intervals
.get(i)
.get(2))+(dist*(runningSum)));
}
}
return results
.subList(1,results
.size()-1);
}
private static void updateActives(int rs,bool[] actvs,int nc){
for(int ci=1;ci<=nc;ci++)actvs[ci]=(rs&Math
.pow(2,(ci-1)))>
0?true:false;
}
}
```
---
#### 注意事项
尽管提供了多种语言的标准解答模板，但在实际参加考试时应特别注意以下几点：
- 修改变量命名习惯以降低与其他参赛者提交内容相似度的风险。
- 调整程序框架结构从而体现个人风格差异性。
- 测试更多极端情况下的表现验证鲁棒性和正确率[^3]。
---
这篇博客介绍了一个关于数字涂色的问题，要求同种颜色的所有数都可以被该颜色中最小数整除。博主提供了递归解题思路，通过排序、判断整除关系和递归处理无法被最小数整除的数，最终找出最少需要的颜色种类。示例展示了如何在不同情况下确定颜色数量。
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