Educational Codeforces Round 9 E.Thief in a Shop

最新推荐文章于 2021-07-28 09:36:09 发布

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数学 FFT

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本文介绍了如何利用快速傅立叶变换（FFT）解决特定的组合数学问题，通过快速幂加速减少复杂度，并讨论了避免浮点数溢出的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：http://codeforces.com/contest/632/problem/E

题意：给定n,k，然后给定n个1000以内的整数，求从中取k个(可重复取同一元素)能组成多少个不同的数，输出所有恰能用k个数组成的情况。

分析：很明显这题只要将数x当做指数项直接去FFT即可，最后输出系数非0的项即可，另最大的数为x，mx=xk，那么暴力FFT是O(mxk*logmx)，这样显然是不行的，我们可以将k进行快速幂那样的二分加速，那么就变成了O(mxlogmxlogk)，其实我们在一次DFT之后如果不直接进行逆DFT求出系数表达式，我们可以直接将点值表达式进行logk次乘法加速，最后再一次性将答案逆DFT求出来。这样的复杂度是O(mx(logmx+logk))的。但是！如果这样做的话会将浮点数乘上10+次，这样是会出nan错的。而如果用之前的O(mxlogmxlogk)的时候我们可以每次将变大了的系数重新变为1，这样不会对答案产生影响同时也不会爆int。题解里有说NTT和O(mx(logmx+logk))的方法，我估计用NTT的话就能避免浮点爆掉的情况使得能想后者那样重新定为1来处理。下次补掉这种情况。

代码：(FFT)

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
const int N=1100000;
const int MOD1=1000007;
const int MOD2=100000009;
const int MAX=1000000000;
const double EPS=0.5;
typedef long long ll;
const ll MOD=1000000007;
const ll INF=10000000010;
const double pi=acos(-1.0);
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
struct Complex{
    db r,i;
    Complex() {}
    Complex(db r,db i):r(r),i(i) {}
    Complex operator + (const Complex &t) const {
        return Complex(r+t.r,i+t.i);
    }
    Complex operator - (const Complex &t) const {
        return Complex(r-t.r,i-t.i);
    }
    Complex operator * (const Complex &t) const {
        return Complex(r*t.r-i*t.i,r*t.i+i*t.r);
    }
}x[N],y[N];
void FFT(Complex x[],int n,int rev) {
    int i,j,k,t,ds;
    Complex w,u,wn;
    for (i=1;i<n;i++) {
        for (j=0,t=i,k=n>>1;k;k>>=1,t>>=1) j=j<<1|t&1;
        if (i<j) swap(x[i],x[j]);
    }
    for (i=2,ds=1;i<=n;ds=i,i<<=1) {
        w=Complex(1,0);wn=Complex(cos(rev*2*pi/i),sin(rev*2*pi/i));
        for (j=0;j<ds;j++,w=w*wn)
            for (k=j;k<n;k+=i) {
                u=w*x[k+ds];x[k+ds]=x[k]-u;x[k]=x[k]+u;
            }
    }
    if (rev==-1) for (i=0;i<n;i++) x[i].r/=n;
}
void solve(int a[],int &lea,int b[],int leb) {
    int i,n=1;
    while (n<lea+leb) n<<=1;
    for (i=0;i<lea;i++) x[i]=Complex(a[i],0);
    for (i=lea;i<n;i++) x[i]=Complex(0,0);
    for (i=0;i<leb;i++) y[i]=Complex(b[i],0);
    for (i=leb;i<n;i++) y[i]=Complex(0,0);
    FFT(x,n,1);FFT(y,n,1);
    for (i=0;i<n;i++) x[i]=x[i]*y[i];
    FFT(x,n,-1);
    for (i=0;i<n;i++)
    if (x[i].r>=EPS) a[i]=1;
    else a[i]=0;
    lea+=leb;
}
int a[N],b[N];
int main()
{
    int i,n,k,x,lea,leb;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));b[0]=1;
    for (i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d", &x);a[x]=1;
    }
    lea=1001;leb=1;
    while (k) {
        if (k&1) solve(b,leb,a,lea);
        solve(a,lea,a,lea);
        k>>=1;
    }
    for (i=1;i<=leb;i++)
    if (b[i]>0) printf("%d ", i);
    printf("\n");
    return 0;
}

代码：(NTT,O(n*(logn+logk)))

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
const int N=1000010;
const int MAX=151;
const int mod=100000000;
const int MOD1=100000007;
const int MOD2=100000009;
const double EPS=0.00000001;
typedef long long ll;
const ll MOD=1000000009;
const ll INF=10000000010;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
ll G=3,P=469762049,a[3*N],b[3*N],wn[25];
char s[N],t[N];
ll q_pow(ll a,ll b,ll M) {
    ll ret=1;a%=M;
    while (b) {
        if (b&1) ret=ret*a%M;
        a=a*a%M;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
void getwn() {
    for (int i=0;i<25;i++) wn[i]=q_pow(G,(P-1)/(1<<i),P);
}
void NTT(ll x[],int n,int rev) {
    int i,j,k,t,ds,id=0;
    ll w,u,v;
    for (i=1,j=n>>1,k=n>>1;i<n-1;i++,k=n>>1) {//Rader
        if (i<j) swap(x[i],x[j]);
        while (j>=k) { j-=k;k>>=1; }
        if (j<k) j+=k;
    }
    for (i=2,ds=1;i<=n;i<<=1,ds++)
        for (j=0;j<n;j+=i) {
            w=1;
            for (k=j;k<j+i/2;k++) {
                u=x[k]%P;v=w*x[k+i/2]%P;
                x[k]=(u+v)%P;
                x[k+i/2]=(u-v+P)%P;
                w=w*wn[ds]%P;
            }
        }
    if (rev==-1) {
        for (i=1;i<n/2;i++) swap(x[i],x[n-i]);
        w=q_pow(n,P-2,P);
        for (i=0;i<n;i++) x[i]=x[i]*w%P;
    }
}
void mul(ll x[],ll y[],int n) {
    for (int i=0;i<n;i++) x[i]=(x[i]*y[i]%P+P)%P;
}
int main()
{
    int i,n,k,x,mx=0;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    for (i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d", &x);
        a[x]=1;mx=max(x,mx);
    }
    getwn();n=1;b[0]=1;
    while (n<mx*k) n<<=1;
    NTT(a,n,1);NTT(b,n,1);
    while (k) {
        if (k&1) mul(b,a,n);
        mul(a,a,n);
        k>>=1;
    }
    NTT(b,n,-1);
    for (i=1;i<=n;i++)
    if (b[i]) printf("%d ", i);
    printf("\n");
    return 0;
}