SCOI2014方伯伯运椰子（分数规划+SPFA）

最新推荐文章于 2021-04-05 12:50:37 发布

原创最新推荐文章于 2021-04-05 12:50:37 发布 · 661 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

省选同时被 3 个专栏收录

21 篇文章

订阅专栏

spfa

2 篇文章

订阅专栏

最短路

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一个关于椰子园物流网络优化的问题，旨在通过调整网络中的道路容量来降低运输成本，确保物流网络在高运输量下的经济性。

题目描述

四川的方伯伯为了致富，决定引进海南的椰子树。方伯伯的椰子园十分现代化，椰子园中有一套独特的交通系统。

现在用点来表示交通节点，边来表示道路。这样，方伯伯的椰子园就可以看作一个有 n + 2 个交通节点，m条边的有向无环图。n +1 号点为入口，n +2 号点为出口。每条道路都有 6 个参数，ui，vi，ai，bi，ci，di，分别表示，该道路从 ui 号点通向 vi 号点，将它的容量压缩一次要 ai 的花费，容量扩大一次要 bi 的花费，该条道路当前的运输容量上限为 ci，并且每单位运输量通过该道路要 di 的费用。

在这个交通网络中，只有一条道路与起点相连。因为弄坏了这条道路就会导致整个交通网络瘫痪，聪明的方伯伯决定绝不对这条道路进行调整，也就是说，现在除了这条道路之外，对其余道路都可以进行调整。

有两种调整方式：

选择一条道路，将其进行一次压缩，这条道路的容量会下降 1 单位。
选择一条道路，将其进行一次扩容，这条道路的容量会上升 1 单位。

一条道路可以被多次调整。

由于很久以前，方伯伯就请过一个工程师，对这个交通网络进行过一次大的优化调整。所以现在所有的道路都被完全的利用起来了，即每条道路的负荷都是满的（每条道路的流量等于其容量）。

但方伯伯一想到自己的海南椰子会大丰收，就十分担心巨大的运输量下，会导致过多的花费。因此，方伯伯决定至少进行一次调整，调整之后，必须要保持每条道路满负荷，且总交通量不会减少。

设调整后的总费用是 Y，调整之前的总费用是 X。现在方伯伯想知道，最优调整比率是多少，即假设他进行了 k 次调整，(X - Y)/k最大能是多少？

注：总费用 = 交通网络的运输花费 + 调整的花费
输入输出格式
输入格式：

第一行包含二个整数N，M接下来M行代表M条边，表示这个交通网络每行六个整数，表示Ui,Vi,Ai,Bi,Ci,Di接下来一行包含一条边，表示连接起点的边

输出格式：

一个浮点数，保留二位小数。表示答案，数据保证答案大于0

分析：
1.因为本题要求的是分数的最大值，所以要用到分数规划
2.因为与源点相连的只有一条边，所以这个图的流量是守恒的（总量不会变化）
3.那么压缩相当于退流，扩容相当于增广，增广相当于加了一条。
4.扩容1的费用为b+d,压缩1的费用为a-d
5.化一下给的式子：

x - y k > m i d

$\frac{x-y}{k}>mid$

x - y - k * m i d > 0

$x-y-k*mid>0$

y - x + k * m i d < 0

$y-x+k*mid<0$
y-x即是扩容的费用加上压缩的费用。由于最后要除上操作总数k，因此对于相同的边操作多次是没有意义的。又因为存在mid的影响，所以每次加上mid再判断是否有负权环即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=5010;
const int maxm=3010;
const int INF=1e9;
int to[maxm*2],Next[maxm*2],w[maxm*2],Begin[maxn],e;
int n,m;
double dis[maxn];
void add(int x,int y,int z){
    to[++e]=y;
    Next[e]=Begin[x];
    Begin[x]=e;
    w[e]=z;
}
int inq[maxn],cnt[maxn];
int s,t;
bool SPFA(double add){
    memset(inq,0,sizeof(inq));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF*1.0;
    queue<int>q;
    q.push(s);inq[s]=1;cnt[s]++;
    dis[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=Begin[u];i;i=Next[i]){
            int v=to[i];
            if(cnt[v]>n) return true;
            double length=w[i]+add;
            if(dis[v]>dis[u]+length){
                dis[v]=dis[u]+length;
                if(!inq[v]) q.push(v),cnt[v]++;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    double L=0,R=0;
    s=n+1,t=n+2;
    n+=2;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d%d%d",&u,&v,&a,&b,&c,&d);
        if(c) add(v,u,a-d);
        add(u,v,b+d);
        if(a-d<0) R+=d-a;
    }
    double ans=0;
    while(R-L>=1e-3){
        double mid=(L+R)/2;
        if(SPFA(mid)){
            ans=mid;L=mid;
        }else R=mid;
    }
    printf("%.2f",ans);
    return 0;
}