拓展欧几里得到乘法逆元 (+线性求法) 个人解释 + 普通模板

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原创最新推荐文章于 2026-08-21 15:22:31 发布 488 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

深入解析乘法逆元：从模运算除法到算法实现与应用在模运算中，除法无法直接进行，这引出了乘法逆元的核心概念。乘法逆元本质上是模运算下的‘倒数’，它使得在模数m下，a与其逆元x的乘积模m等于1，即a*x ≡ 1 (mod m)。其存在的充要条件是a与m互质，这可以通过贝祖定理进行严格证明。理解乘法逆元的技术价值在于，它为解决模运算中的除法问题提供了通用方案，是连接数论基础与工程实践的关键桥梁。在应用场景上，乘法逆元是算法竞赛中组合数取模、分数取模计算的基石，也是密码学（如RSA算法）和数据校验等领域的基础工具。本文将以扩展欧几里得算法、费马小定理和线性递推法阅读详情

话说PION初赛 (本月13号) 要到了我还是得弄一下不然连50分都没有...........

首先我们要知道欧几里得是什么——某求最小公约数 (gcd) 的东西这个东西如果不知道......那我真没办法

好了那拓展欧几里得是什么呢？就是 extendgcd 俗称 exgcd

好吧其实名称是没~~luan~~用的我们来看看这东西的用处

然而只是用来求 ax + by = gcd(a,b) 的？当然但是有许多其他式子 (我也没找几个) 如 ax ≡ 1 (mod b) 就可以转化为那个

好吧这就是我这篇要讲的题链接丢这里先后面再放一个

ax ≡ 1 (mod b) 转化一下就是 ax mod b ≡ 1

仔细想想 ax mod b 就是 ax ÷ b 取余

也就是 ax - b * (ax / b ( / 用来取整) ) = 1 然而这样并不好求我们设和 b 乘起来的一大坨东西为 y 则有

ax - by = 1 也就是 ax + (-by) = 1 诶这里 y 是个负数耶然而并不关我们的事谁说负数就求不了了呢？注意了这里有伏笔

我们已经转化到了 ax + by 的形式所以原式就是要 ax + by = 1 那我们就可以很容易发现

gcd(x,y) = 1 ！！！没错！！！我们的拓展欧几里得可以派上用场了

好吧拓展欧几里得是什么都没说呢 ~~现在开始讲解~~就是一个式子啦要讲什么嘛我直接推导然后应用就好了 (其实要讲的就是这些讲完以后就懂了) 诸客官请看下面

欧几里得是干嘛的？辗转相除 (好像听说过相减不过这边我们不管) 嘛

拓展欧几里得呢？肯定也是一样的尿性嘛用辗转相除有什么用呢啊哈

因为这里 gcd = 1 所以 x 和 y 的最大公约数为 1 通过普通欧几里得可以发现此时两数 1 个是 1 另一个是 0

然后拓展欧几里得里如果知道了这些那我们就少了两个未知数然后这题 a 和 b 又知道那完全就没有未知数了嘛

然后我们回溯就好了呀~~ 好吧证明一下可行性

首先

ax   +    by    = gcd(a,b)
ax'  + (b % a)y'= gcd(a,b % a)

显然 gcd(a,b) = gcd(a,b % a)
所以 ax + by = ax' + (b % a)y'
那我们根据欧几里得最后就得到了 x = 1,y = 0

于是次数方程变成 1 * a + 0 * b = gcd(a,b) = a
这推到底的解就出来了

那我们考虑推回去 因为上一层的 a = a,b = b % a
哦不 欧几里得的辗转相除每层的 a 和 b 都是反过来的
因为两个数的大小问题 b > a 但是 b % a < a 要反过来
所以应该是 b = a,a = b % a

但是我们要求的是 x 和用来辅助的 y
记得有个叫乘法交换律的东西吧
那我们就不变 a 和 b 变 x 和 y 像推 a 和 b 一样
然后利用每层递归的 a 和 b 的值 就可以找到原来的 x 和 y 了
但原来的那个是一个特解 如果像本题一样找最小的 就要像下面代码一样
如果找第 k 小的 就用最小解乘上 k 就好啦

下放代码隔开方便复制题目链接戳这里

#include <cstdio>
using namespace std;
int x,y;
void exgcd(int a,int b)
{
	if (!b) {x = 1,y = 0; return;}
	exgcd(b,a % b);
	int bot = x;
	x = y;
	y = bot - a / b * y;
}
int main()
{
	int a,b;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	exgcd(a,b);
	printf("%d\n",(x % b + b) % b);
	return 0;
}
/*Frocean用 a b 只做循环变量~~
#include <cstdio>
using namespace std;
int i,j;
void exgcd(int x,int y)
{
	if (!y) {i = 1,j = 0; return;}
	exgcd(y,x % y);
	int bot = i;
	i = j;
	j = bot - x / y * j;
}
int main()
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	exgcd(x,y);
	printf("%d\n",(i % y + y) % y);
	return 0;
}
*/

拓展欧几里得的这种用法又可以说是求乘法逆元不过乘法逆元的定义可能和上面那式子不太一样

若 $a * x \equiv 1 (mod b)$ 且 a 与 b 互质，那么 x 为 a 的逆元 x 也可表示为 $a^{-1}$ 也称 x 为 a 的倒数

( 后面讲的时候 b 换成 p 因为题目原因 )

就像上面那个求就好了但注意一点

   比如说 4 * 3 在 mod 11 的意义下 3 是 4 的乘法逆元
   然而 4 * 14 在 mod 11 的意义下 14 也是 4 的乘法逆元
   但是 14 在 mod 11 意义下就是 3 因为 14 = 11 + 3
   所以如果要求乘法逆元输出的只有一个

好了好了就像上面那程序一样就求得出来了完全一样

但如果我们要求线性的解呢？比如这道题目像上面那样一个个跑绝对会炸掉的

那我们就需要线性算法这个要推一个式子

首先 1 的乘法逆元肯定要先弄出来很显然 $1^{-1} = 1$ 了也就是 $1^{-1} \equiv 1 (mod p)$ 且当 p＞1 时

还有一个前提条件线性算法只能求 p 为质数时 1 ~ p - 1 的乘法逆元

因为这个条件我们设 p 是由一堆数构成的因为 p 又是质数所以要分解成 k 倍的 i + r 的形式

即 $p = k * i + r,r < i,1 < i < p$ 其中 $r < i$ 是因为 r ≥ i 时 r 可以化成 i 的倍数

指定 i 为当前需要求的数则其乘法逆元为 $i^{-1}$

我们可由 p mod p = 0 得到一个式子

$k * i + r \equiv 0 (mod p)$

接下来转化同乘 $i^{-1}r^{-1}$ (就是同除 $ir$ ) 得

$k * r^{-1} + i^{-1} \equiv 0 (mod p)$

$i^{-1} \equiv - k * r^{-1} (mod p)$

此时将右边两项分开 k = p / i 并且 r = p mod i 此时指数不变见下

$i^{-1} \equiv - \left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor * (p mod i)^{-1} (mod p)$

此时 $(p mod i)^{-1}$ 是 p mod i 这个数的逆元这个数必定小于 i 因此我们早已求出

这时候我们可以得到第一种式子

ans [ i ] = - p / a * ans [ p % a ] % p

然而这个式子是错的因为会有负数所以要改成下面那样原理和上面拓展欧几里得的代码一样

ans [ i ] = ( ( - p / a * ans [ p % a ] ) % p + p) % p

然后这样就可以跑了实测556ms(当然要开long long)

下放代码

#include <cstdio>
#define ll long long
const int MAXN = 3000010;
int ans[MAXN],n,p;
int main()
{
    ans[1] = 1; scanf("%d%d",&n,&p);
    for (int i = 2 ; i <= n ; ++ i)
		ans[i] = ((- (ll)p / i * ans[p % i]) % p + p) % p;
    for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

还有其实我们可以继续推下去

看一下我们之前的 $- \left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor$ 通俗一点就是 $- \frac{p}{i}$ 看好了在 mod p 意义下这个项和下面那个项相等——

$p - \frac{p}{i} (mod p)$

为什么呢？

因为我们可以先把前面的 p mod p 就是 0 那下面那个式子就变成 $- \frac{p}{i}$ 了

众所周知除比取模要快上一些

于是我们可以得出下面这个式子

ans [ i ] = ( p - p / i ) * ans [ p % a ] % p

于是我们拿下面这个式子跑实测470ms(当然要开long long)

下放代码

#include <cstdio>
#define ll long long
const int MAXN = 3000010;
int ans[MAXN];
int main()
{
	int n,p;
	ans[1] = 1;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	for (int i = 2 ; i <= n ; ++ i)
		ans[i] = (ll)(p - p / i) * ans[p % i] % p;
	for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

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