我来做这个“傻子”问题

在论坛上看到这个 “傻子带来的问题“：
"100个人排队乘坐有100个座位的飞机，正常情况时每个都都会对号入坐，但是，第一个上飞机的是个傻子，他随机坐了一个位子，接下来的人上飞机时，如果自己座位被人坐了就会随机找个座位坐下，否则就坐自己坐位。问题：最后一个上飞机的人坐到自己座位的概率是多少？？" （这题蕴含着一个前提，所有人都是按次序轮流登记的）

很有意思，我花了很多时间思考。已经有很多人得出了答案1/2，可要么是用程序算出来的，要么是用一些费解的方法推导出来的，我怎么都看不懂。所以我在这里写写我的解法。先说一种比较简单的推理方法：

把所有人编号，1-100号，每个人的座位也是1-100号。那么先假设傻子做到了2-99号座位中的一个，这有98/100的可能性。在这个前提下，考虑一下两种情况：
1）2-99号乘客有某人做到了傻子的座位。
2）2-99号乘客有某人做到了最后一个乘客的座位。
稍加思考，你就会明把这两种情况是互斥的，也就是不能同时发生；它们也是完备的，也就是必定发生一个。那么对2-99号乘客来说，傻子的座位和最后一个乘客的座位地位是完全平等的，所以两者发生的概率都是1/2。如果事件1发生，那么最后一个乘客能做到自己的座位。它总的概率是(98/100)*(1/2)。
那么再看傻子坐到1或者100号座位的情况。显然只有前者能使最后一个乘客坐到自己的座位，那么它的概率是1/100。
所以综上所述，最终的概率是(98/100)*(1/2)+1/100=1/2。以上推理是我认为比较简洁明了的一个，它也说明了无论多少人，结果都是1/2。

当然还有那种更加偏向概率的计算方法，能得出同样结果。这里也有两种方法：
1. 计算100号座位被1-99号乘客中的某人占用的概率。
记第i个乘客占用100号座位的概率是Pi。那么：
P1=1/100，傻子有1/100的机会坐100号座位
P2=(1/100)*(1/99)=P1*(1/(101-i))，也就是2号乘客只有在傻子做了他的座位后才有1/99的机会坐100号座位。
P3=(P1+P2)*(1/(101-i))，也就是3号乘客只有在傻子或2号乘客做了他的座位后才有1/98的机会坐100号座位。而2号乘客坐他的座位的概率等于P2
那么你马上能得出Pi=(P1+P2+P3+...+P(i-1))*(1/(101-i))，比如P99=(P1+P2+P3+...P98)*(1/2)。
那么最后的概率是p=1-(P1+P2+P3...P98+P99)    [1]。有人用数学归纳法或者编程，能算出这个结果是1/2。不过也有避免计算的方法，看一下另一种方法。
2. 计算1号座位被1-99号乘客中某人占用的概率，而这个概率就是最后一人能做上自己座位的概率（请自己思考其正确性）。
记第i个乘客占用1号座位的概率是Pi。那么：
P1=1/100，傻子有1/100的机会坐1号座位
P2=(1/100)*(1/99)=P1*(1/(101-i))，也就是2号乘客只有在傻子做了他的座位后才有1/99的机会坐1号座位。
P3=(P1+P2)*(1/(101-i))，也就是3号乘客只有在傻子或2号乘客做了他的座位后才有1/98的机会坐1号座位。
写到这里，你会发现什么？这个不是与上个方法里的结论一样吗？
所以最后的概率p=P1+P2+P3...P98+P99   [2]
结合方法1和2的结果，把[1]+[2]，得2p=1，即p=1/2。

傻子问题总算解决！