二分查找(搜索区间为左闭右开)

原创已于 2022-11-29 14:12:06 修改 · 523 阅读

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于 2022-08-05 14:27:04 首次发布

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本文探讨了二分查找的不同写法，包括左闭右开和左开右闭两种策略，解释了它们的循环条件、边界调整和返回结果的区别，并通过实例展示了C++ STL库中的lower_bound和upper_bound函数的应用。

二分查找有几种写法？它们的区别是什么？ - Jason Li的回答

引言

二分查找的过程是不断把搜索边界缩小,往中间“挤”出结果的过程。

二分查找难点

假设 $l$ 是当前搜索区间左边界， $r$ 是当前搜索区间右边界， $m$ 是向下取整中位点， $A$ 为有序表。
之后示例中 $l_0$ 和 $r_0$ 为初始边界， $v$ 为目标值

循环条件： $\ or \ l \le r$
边界调整： $\ or \ l = m + 1; r = m \ or \ r=m-1$
返回结果： $\ or \ l+1 \ or \ r \ or \ r+1$

以上问题可以通过取左闭右开的搜索区间来尝试解决，最终结论如下

循环条件： $l < r$
边界调整： $l = m + 1 ， r = m$
返回结果： $\ or \ r$

个人感性认识上，正是因为二分除法中，中位数有两种取法，而左闭右开选择了向下取整的中位数，来减少讨论。

C++STL库实现的二分查找函数，提供的参数也是相同的思路
lower_bound(first,last,value)：从下标[first, last)内，二分查找第一个大于或等于value的数字
upper_bound(first,last,value)：从下标[first, last)内，二分查找第一个大于value的数字

lower_bound的相同效果实现思路

// 求 第一个 x >= v
while (l < r) { 
    m = l + ((r - l) >> 1); // 防溢
    if (A[m] < v) l = m + 1;
    else r = m;
}
return l; // 或 return r;

循环条件

在查找过程中循环继续的条件

$[l, r)$ 不为空，需要继续搜索
此时 $l_0,l)$ 所有元素小于 $v$
此时 $r,r_0)$ 所有元素大于等于 $v$

边界调整

$A [m] < v$ ， $m$ 应该被划分在 $l_0,l)$ 内，应调整 $l = m + 1$
$\ge v$ ， $m$ 应该被划分在 $r,r_0)$ 内，应调整 $r = m$

返回结果

最终循环结束时，结果为第一个大于等于 $v$ 的元素下标

$[l, r)$ 为空, $l = r$
$l_0,l)$ 所有元素小于 $v$
$r,r_0)$ 所有元素大于等于 $v$

upper_bound的相同效果实现思路

// 求 第一个 x > v
while (l < r) { 
    m = l + ((r - l) >> 1);
    if (A[m] <= v) l = m + 1; // 差别在此，A[m] == v 的归属
    else r = m;
}
return l; // 或 return r;

循环条件

在查找过程中循环继续的条件

$[l, r)$ 不为空，需要继续搜索
此时 $l_0,l)$ 所有元素小于等于 $v$
此时 $r,r_0)$ 所有元素大于 $v$

在查找过程中循环继续的条件

边界调整

$A[m]\le v$ ， $m$ 应该被划分在 $l_0,l)$ 内，应调整 $l = m + 1$
$A [m] > v$ ， $m$ 应该被划分在 $r,r_0)$ 内，应调整 $r = m$

返回结果

最终循环结束时，结果为第一个大于 $v$ 的元素下标

$[l, r)$ 为空, $l = r$
$l_0,l)$ 所有元素小于等于 $v$
$r,r_0)$ 所有元素大于 $v$

其他

可以用lower_bound和upper_bound解决常用二分查找问题如下

小于 $v$ 的上界 lower_bound(l,r,v) - 1
小于等于 $v$ 的上界 upper_bound(l,r,v) - 1
大于等于 $v$ 的下界 lower_bound(l,r,v)
大于 $v$ 的下界 upper_bound(l,r,v)

中间两个较为常用

例

LeetCode 35.搜索插入位置

int searchInsert(int* nums, int numsSize, int target)
{
    int l, r;
    l = 0, r = numsSize;
    while (l < r) { 
        int m = l + ((r - l) >> 1);
        if (nums[m] < target) l = m + 1;
        else r = m;
    }
    return l;
}

LettCode 34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

int* searchRange(int* nums, int numsSize, int target, int* returnSize)
{
    int l = 0, r = numsSize, m;
    int* ret = malloc(sizeof(int) * 2);
    *returnSize = 2;
    ret[0] = ret[1] = -1;

    if (numsSize == 0) return ret;

    while(l < r) {
        m = l + ((r - l) >> 1);
        if (nums[m] < target) l = m + 1;
        else r = m;
    }
    if (r != numsSize && nums[l] == target) ret[0] = l;

    l = 0, r = numsSize;
    while (l < r) {
        m = l + ((r - l) >> 1);
        if (nums[m] <= target) l = m + 1;
        else r = m;
    }  
    if (l != 0 && nums[l - 1] == target) ret[1] = l - 1;

    return ret;
}