BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

题目描述 Description
根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：
求$2^{2^{2^{...}}}\pmod p$的值

输入描述 Input Description
第一行一个整数T，表示数据个数。
接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

输出描述 Output Description
T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

样例输入 Sample Input
3
2
3
6

样例输出 Sample Output
0
1
4

数据范围及提示 Data Size & Hint
对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

看到这个题，有没有很吓人的赶脚
首先，我们来学习一下欧拉定理
若a与m互质，则$a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m$

有了这个，我们来将原式转换一下
因为$p$与2不一定互质，所以我们使$p=2^k*q$，其中$q$为奇数（将所有的2都提出来）
那么原式转化为：
$2^k*(2^{2^{2^{...}}-k}\pmod q)$
$2^k*(2^{(2^{2^{...}}-k)\pmod{\varphi(q)}}\pmod q)$
我们递归处理系数
最终一定会有$q=1$
最后递归到了某个时段会有
$2^k*(2^{(2^{2^{...}}-k)}\pmod 1)$
必然的，该式值为$2^k$
递归回来处理即可

由于在$p>2$时，必然有$\varphi(p)$为偶数，那么每次的模数至少减少一半（提出来变成k了）
所以时间复杂度为$O(log_2p)$
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
int phi(int x) {
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++) {
        if(x%i==0) {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x^1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
int ksm(ll x,int y,int p) {
    ll ans=1;
    while(y) {
        if(y&1) ans=(ans*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int slove(int p) {
    if(p==1) return 0;
    int temp=0;
    while(~p&1) {p>>=1;++temp;}
    int PHI=phi(p);
    int ans=slove(PHI);
    ans=(ans+PHI-temp%PHI)%PHI;
    ans=ksm(2,ans,p)%p;
    return ans<<temp;
}
int main() {
    int t,p;
    std::scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        std::scanf("%d",&p);
        printf("%d\n",slove(p));
    }
    return 0;
}