Mobius 莫比乌斯

Mobius函数：

$$u(n)=\{\begin{array}{rcl}& & \\ 1& & n=1\\ & & \\ 0& & n分解质因数后有指数>1\\ & & \\ (-1{)}^k& & k个指数为1的质因子\end{array}$$

性质：
$$\sum _{d\mid n}\mu (d)=\{\begin{array}{rcl}1& & n=1\\ 0& & n\ne 1\end{array}$$

证明：
$$\begin{gathered} 如果n=1,则定理明显成立 \\ 如果n>1 \\ 设n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}{p}_3^{k_3}\cdots p_m^{k_m} \\ d为其中一部分 \\ d的每个质因子指数为1时才有贡献，否则\mu (d)=0 \\ 设d中有r个质因子 \\ \mu (d)=(-1{)}^r，这样的d的个数为C_m^r \\ {\sum }_{r=0}^m(-1{)}^r{C}_m^r={\sum }_{r=0}^m{C}_m^r(-1{)}^r\ast 1^{m-r}=(-1+1{)}^m \\ (根据二项式定理)证毕 \end{gathered}$$

欧拉线性筛求莫比乌斯函数

void get(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){//i为质数
            mu[i]=-1;prim[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prim[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;//最小质因子
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

反演：

$$若有f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)$$$$则有g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(\frac{n}{d})$$
证明：
$$\sum _{d\mid n}\mu (d)f(\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}\mu (d)\sum _{k\mid \frac{n}{d}}g(k)$$$$恒等变形$$$$\sum _{d\mid n}\mu (d)\sum _{k\mid \frac{n}{d}}g(k)=\sum _{k\mid n}g(k)\sum _{d\mid \frac{n}{k}}\mu (d)$$$$由莫比乌斯函数的性质得仅在k=n时有意义$$$$\sum _{k\mid n}g(k)\sum _{d\mid \frac{n}{k}}\mu (d)=g(n)$$

反演2：
$$若有f(n)=\sum _{n\mid d}g(d)$$$$则有g(n)=\sum _{n\mid d}\mu (\frac{d}{n})f(d)$$