poj2478 Farey Sequence（法雷级数+欧拉函数式素数筛）

最新推荐文章于 2021-05-24 13:17:41 发布

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博客介绍了如何解决POJ2478问题，即求解第n项的法雷级数。通过欧拉函数，博主指出后一项与前一项之差等于与该数互质的数的数量。由于数据规模大，需要使用欧拉函数式素数筛法。这种方法基于欧拉函数的两个性质：质数p的φ(p) = p-1，以及根据n的质因数a计算φ(n)的规则。博主强调在实现时需要预存素数，并采用“广搜”方式扩充素数表，最后注意输出类型为longlong。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://poj.org/problem?id=2478

题意：求第n项的法雷级数是多少。

思路：法雷级数，百度百科就可以知道后一项和前一项的差值就是与该数互质的数的个数，因为如果不互质就约分变成其他数了。求小于n与n互质的数的个数正是欧拉函数的作用，但是这题数据量大，需要打个表再判断。打表也不是普通的打表，不是那种先打个素数表，然后再来一次打欧拉表，最后打法雷级表，时间应该超级长，毕竟遍历一次就1000000。看了下别人的学了下这种欧拉函数式的素数筛法。

这里涉及两个欧拉函数的性质：

1、若p是一个质数，那么φ(p) = p-1，注意φ(1) = 1;

2、设a是n的质因数，若(n%a==0 && (n/a)%a==0)则φ(n) = φ(n/a)*a;

若(n%a==0 && (n/a)%a!=0)则φ(n) = φ(n/a)*(a-1);

根据这个性质，欧拉函数的后一项可以由前一项推出来，那知道了前一项也就知道了后一项，这样素数打表的方式也需要改变，不再是以前的“深搜”式，而改成“广搜”式。需要先把一直的素数存起来，再用倍数对其扩充。

注意输出要用longlong。

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1000005;

int prime[N], num[N], euler[N], cnt = 0;
ll f[N];

void farey_table()
{
    memset(prime, 1, sizeof(prime));
    euler[1] = 1;
    f[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= N; i++)
    {
        if(prime[i])//如果是素数
        {
            num[++cnt] = i;
            euler[i] = i-1;
        }
        for(int j = 1; j<=cnt && num[j]*i<N; j++)
        {
            prime[num[j]*i] = 0;
            if(i%num[j] == 0) euler[i*num[j]] = euler[i]*num[j];
            else euler[i*num[j]] = euler[i]*(num[j]-1);
        }
    }
    for(int i = 2; i <= N; i++)
    {
        f[i] = f[i-1]+euler[i];
    }
}

int main()
{
  //  freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n;
    farey_table();
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        if(n == 0) break;
        printf("%lld\n", f[n]);
    }
    return 0;
}