逻辑回归原理及推导过程

这篇文章将详细地讲解逻辑回归的推导过程。
原理：
逻辑回归处理的是分类问题，具体来说，是处理二分类问题。为了实现逻辑回归分类器，我们可以在线性回归的基础上（即每个特征乘以一个回归系数后相加），添加一个sigmoid函数，进而得到一个范围在0-1之间的数值。任何大于0.5的数据会被分入1类，小于0.5即被分入0类。至于为什么要用sigmoid函数，简单来说，是为了将标签归到[0,1]的范围内；深层原因，sigmoid函数的使用是由指数分布族决定的，具体内容会在下一篇博客中做详细讲解。
详细推导：
根据以上描述，我们可以得到预测值$h_\theta(x)$ :

$$h_\theta(x) = g(\theta^Tx) = {1\over 1+e^{-\theta^Tx}}$$
其中$g(z) = {1\over 1+e^{-z}}$ 即为sigmoid函数。
以上二分类问题满足伯努利分布(Bernoulli distribution)，即：
$$p(y=1|x;\theta) = h_\theta(x) \\ p(y=0|x;\theta) = 1-h_\theta(x)$$
因此：
$$p(y|x;\theta) = h_\theta(x)^y (1-h_\theta(x))^{1-y}$$
假设样本之间是相互独立的，即似然函数如下：
$$\begin{eqnarray*} L(\theta) &=& p(Y|X;\theta) \\ &=&\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) \\ &=&(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}} (1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \end{eqnarray*}$$
对数似然函数：
$$\begin{eqnarray*} l(\theta) &=& logL(\theta) \\ &=&\sum_{i=1}^mlog(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}} (1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \\ &=&\sum_{i=1}^m(y^{(i)} log(h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))) \end{eqnarray*}$$
为了方便理解，我们先对每一个样本进行分析，首先，对参数求导：
$$\begin{eqnarray*} {\partial l(\theta)\over \partial\theta_j} &=& {y^{(i)}\over h_\theta(x^{(i)})}*{\partial h_\theta(x^{(i)})\over \partial\theta_j} + {1-y^{(i)}\over 1-h_\theta(x^{(i)})}*(-{\partial h_\theta(x^{(i)})\over \partial\theta_j}) \\ &=& {y^{(i)}(1-h_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})h_\theta(x^{(i)})\over h_\theta(x^{(i)})(1-h_\theta(x^{(i)}))}*{\partial h_\theta(x^{(i)})\over \partial\theta_j} \\ &=& {y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)})\over h_\theta(x^{(i)})(1-h_\theta(x^{(i)}))}*{\partial h_\theta(x^{(i)})\over \partial\theta_j} \end{eqnarray*}$$
其中$h_\theta(x) = {1\over 1+e^{-\theta^Tx}}$ ，为了简化显示，这里省略x的上标i，所以：
$$\begin{eqnarray*} {\partial h_\theta(x)\over \partial\theta_j} &=& -(1+e^{-\theta^Tx})^{-2}*e^{-\theta^Tx}*(-x) \\ &=& {e^{-\theta^Tx}\over (1+e^{-\theta^Tx})^2}*x \\ &=& {1+e^{-\theta^Tx}-1\over (1+e^{-\theta^Tx})^2}*x \\ &=& ({1\over (1+e^{-\theta^Tx})}-{1\over (1+e^{-\theta^Tx})^2})*x \\ &=& h_\theta(x) *(1-h_\theta(x) )*x \end{eqnarray*}$$
因此：
$$\begin{eqnarray*} {\partial l(\theta)\over \partial\theta_j} &=& {y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)})\over h_\theta(x^{(i)})(1-h_\theta(x^{(i)}))}*{\partial h_\theta(x^{(i)})\over \partial\theta_j} \\ &=& {y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)})\over h_\theta(x^{(i)})(1-h_\theta(x^{(i)}))}*h_\theta(x^{(i)}) *(1-h_\theta(x^{(i)}) )*x^{(i)} \\ &=&(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))*x^{(i)} \end{eqnarray*}$$
我们是要求使得似然函数最大时的$\theta$ ,所以使用梯度上升法：
$$\theta_j = \theta_j+(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))*x^{(i)} \ \ \ (for \ every \ j)$$
得到优化后的$\theta$ ,代入$h_\theta(x) = {1\over 1+e^{-\theta^Tx}}$ ，以0.5为阈值进行分类。