【递推】HDU1207汉诺塔II 【汉诺塔及汉诺塔变形 归纳】

汉诺塔问题

设f(n)为移动n层的汉诺塔的解，则整个过程其实分为三步：

1. 把n-1层移到第二个上面去（花费f(n-1)）
2. 把最大的移到第三个柱子上面去（花费1）
3. 把n-1层移动到第三个柱子上去（花费f(n-1)）
   故有f(n)=2*f(n-1)+1
   其中f(1)=1
   即f(n) = 2^n - 1

【递推】HDU1207;汉诺塔II 【汉诺塔及汉诺塔变形 归纳】

经典的汉诺塔问题经常作为一个递归的经典例题存在。可能有人并不知道汉诺塔问题的典故。汉诺塔来源于印度传说的一个故事，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。恩，当然这个传说并不可信，如今汉诺塔更多的是作为一个玩具存在。Gardon就收到了一个汉诺塔玩具作为生日礼物。
　　Gardon是个怕麻烦的人（恩，就是爱偷懒的人），很显然将64个圆盘逐一搬动直到所有的盘子都到达第三个柱子上很困难，所以Gardon决定作个小弊，他又找来了一根一模一样的柱子，通过这个柱子来更快的把所有的盘子移到第三个柱子上。下面的问题就是：当Gardon在一次游戏中使用了N个盘子时，他需要多少次移动才能把他们都移到第三个柱子上？很显然，在没有第四个柱子时，问题的解是2^N-1，但现在有了这个柱子的帮助，又该是多少呢？
　　
Input
包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=64)。

Output
对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。

Sample Input
1
3
12

Sample Output
1
5
81

题意：
汉诺塔问题，但现在有4个柱子了。

思路：
现在有a，b，c，d四个柱子，目标是将a上面的n个盘子通过b，c移动到d上。
那么我们可以将n个盘子分成两堆：x，n - x，其中x为上面小的那一堆盘子。x ∈ [1，n)

1. 将a柱子上的x经过c，d柱子移动到到b上，花费 f[x]
2. 将a柱子上的n - x经c柱子移动到d柱子，这就是经典的汉诺塔问题，花费 2 ^ (n - x) - 1
3. 将b柱子上的x经过a，c柱子移动到d柱子上，花费 f[x]

那么可以得到f[n] = 2 * f[x] + 2 ^ (n - x) - 1
但是x有多种可能，到底这两堆怎么分可以得到最小移动次数呢？我们可以遍历x的所有可能，然后此过程中记录最小值即可。
【小心溢出！】

AC代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f


using namespace std;

const int maxn = 70, MOD = 1e9;
long long f[maxn];

int main()
{
    f[1] = 1;
    f[2] = 3;
    for(int i = 3; i <= 64; i++)
    {
        f[i] = INF;
        for(int j = 1; j < i; j++)
        {
            long long cur = 2 * f[j]  + pow(2, i - j) - 1;
            if(cur < 0)//这里是为了防止cur溢出，不加这一句n = 64时就会溢出，导致cur变负数
                continue;
            f[i] = min(f[i], cur);
        }
    }
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        printf("%lld\n", f[n]);
    }
    return 0;
}