线性回归

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原创最新推荐文章于 2026-04-06 13:29:04 发布 2.5k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

python机器学习-线性回归(LinearRegression)算法用python进行线性回归分析非常方便，如果看代码长度你会发现真的太简单。但是要灵活运用就需要很清楚的知道线性回归原理及应用场景。现在我来总结一下用python来做线性回归的思路及原理。 线性回归应用场景 线性回归介绍 机器学习中的线性回归 简单的线性回顾实例 线性回归应用场景 线性回归介绍 ——线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系... 阅读详情

（本文内容来自Andrew NG公开课，首先介绍线性回归模型及求解方法，最后展示实际例子说明问题）

线性回归是监督学习中的一种，数学表述为：数据集中有若干训练数据，对于每个输入特征 $x^{(i)}$ ，有对应输出变量 $y^{(i)}$ 。我们期望学习一种映射表达 $y=h(x)$ ，使得对于训练集之外的特征也能够较好地预测其输出值。

如果预测值为连续值，这种问题被称为回归问题；而预测值为离散值，则这种问题被称为分类问题。

我们来列举一个简单的回归案例，假设数据特征有两个维度， $x=$ {living area，bedrooms}，对应房价为输出数据，如下图所示。我们希望建立模型 $h(x)$ ，当给定其他(Living area, bedrooms)数据时，可以预测出对应房型应该支付的房价数额。

这里写图片描述

1.1 线性回归
线性回归是指使用线性模型对数据进行预测。如果特征 $x$ 有 $n$ 个特征维度， $x_i$ 表示特征 $x$ 的第 $i$ 个特征分量。则线性回归模型 $h_\theta(x)$ 为

h θ (x) = \sum i = 0 n θ i x i = θ 0 x 0 = θ 1 x 1 + \dots + θ n x n = θ T x

$h_\theta(x)=\sum_{i=0}^n\theta_ix_i=\theta_0x_0=\theta_1x_1+\cdots+\theta_n x_n=\theta^T x$
其中，

x0=1 $x_0 = 1$ 。考虑，如果我们知道了预测方程

hθ(x) $h_\theta(x)$ ，那么对于任意一个特征，我们就可以根据已知的线性模型推测输出值了。那么这样，问题就转变为如何求线性模型

h(x) $h(x)$ ，也就是如何求解

h(x) $h(x)$ 的参数

θ $\theta$ 。

考虑采用最小二乘方法，即使得预测值和真实值之间的误差和最小，即，

J (θ) = 1 2 \sum i = 1 m （ h θ (x (i)) - y (i) ） 2

$J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m （h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}）^2$
其中，训练集个数为

m $m$ 个，

x(i) $x^{(i)}$ 表示第

i $i$ 个训练数据。

我们期望求解的参数 $\theta$ 能够使cost function $J(\theta)$ 最小。这里介绍两种方法求解该问题：Gradient Descent和Normal Equation。

1.2 Gradient Descent
梯度下降法求解回归方程的参数使得cost function最小的基本思路是：赋予初始 $\theta$ 值，并根据下面公式逐步更新 $\theta$ 使得 $J(\theta)$ 不断减少，最终至收敛，对应的参数 $\theta$ 即为解。 $\theta$ 的每个分量更新公式为，

θ j \leftarrow θ j - α \partial \partial θ j J (θ)

$\theta_j \leftarrow \theta_j-\alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta)$

在更新参数 $\theta$ 的过程中，我们其实是每次沿着梯度下降的方向按照 $\alpha$ 速度下降，直至达到整个函数的局部（全局）最优点，下图就很好的展示了这个过程。

这里写图片描述

接下来介绍参数更新公式的推导，为了推导方便，首先研究只有一个训练样本时，如何计算推导公式。

这里写图片描述

所以，对于单一训练数据而言，模型参数梯度下降的更新公式为，

θ j \leftarrow θ j + α (y - h θ (x)) x j, j = 0, \dots, n

$\theta_j \leftarrow \theta_j + \alpha(y-h_\theta(x))x_j,j=0,\cdots,n$

推广至 $m$ 个训练数据，参数更新公式为，
Repeat until convergence{ $\theta_j \leftarrow \theta_j + \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}$ for every j}

1.2 Normal Equation
Normal Equation是直接使用矩阵 $X$ 表示特征数据， $\vec y$ 表示输出数据， $\theta$ 表示线性方程参数矩阵。将cost function转换为矩阵表达，通过对参数 $\theta$ 求导为零，得到的 $\theta$ 即为使得cost function 最小的线性方程参数。

矩阵表达及参数推导公式如下，

X = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ \dots \dots \dots (x (1)) T (x (2)) T \dots (x (m)) T \dots \dots \dots ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ y ⃗ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ y (1) y (2) \dots y (m) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ θ (1) θ (2) \dots θ (m) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$X = \begin{bmatrix} \cdots&(x^{(1)})^T&\cdots\\ \cdots&(x^{(2)})^T&\cdots\\ &\cdots\\ \cdots&(x^{(m)})^T&\cdots\\ \end{bmatrix} \vec y=\begin{bmatrix}y^{(1)} \\y^{(2)} \\ \cdots \\y^{(m)} \end{bmatrix} \theta=\begin{bmatrix} \theta^{(1)} \\ \theta^{(2)} \\ \cdots \\ \theta^{(m)} \end{bmatrix}$
特征数据每一条数据占一行，每一列表示一个特征维度。cost function 表达为，

J (θ) = 1 2 \sum i = 1 m (h θ (x (i)) - y (i)) 2 = 1 2 \sum i = 1 m ((x (i)) T θ - y (i)) 2 = 1 2 (X θ - y ⃗) T (X θ - y ⃗)

$\begin{align} J(\theta) &=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2 \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m ( (x^{(i)})^T\theta-y^{(i)})^2 \\ & = \frac{1}{2} (X \theta-\vec y)^T(X\theta -\vec y) \\ \end{align}$

cost function相对于参数 $\theta$ 求导公式为（推导公式中引用部分矩阵公式，具体参见Andrew NG课件，此处省略）

这里写图片描述

导数为0，可以得到normal equation公式为，

X T X θ = X T y ⃗

$X^TX\theta=X^T\vec y$
因此，参数

θ $\theta$ 的矩阵表达为，

θ = (X T X) - 1 X T y ⃗

$\theta=(X^TX)^{-1}X^T \vec y$

1.3 Gradient Descent和Normal Equation的比较

1.当特征向量不同维度的范围差异较大时，会导致椭圆变得很窄很长，而出现梯度下降困难的问题。而使用Normal Equation是可以不管特征的scale的。（参考1.4部分）

2.相比于Gradient Descent， Normal Equation需要大量的矩阵运算，尤其是矩阵的逆运算，在矩阵很大的情况下，会大大增加计算复杂性。Andrew Ng建议特征维度小于10,000时用Normal Equation，大于10,000时改用Gradient Descent方法。

3.Normal Equation存在不可逆的情况，如：特征向量维度大于特征数量时（ $n \ge m$ ）或者当特征向量不同维度之间存在冗余信息。

1.4 特征缩放（feature scaling）
当特征不同维度之间数值取值范围差异性较大时，梯度下降过程会变得非常缓慢。例如x有两个特征维度，分别表示房屋的面积，取值范围为0-2000，以及房间个数，取值范围为1-5。这两个维度特征的取值规模不在同一个范围内，使用梯度下降时，收敛不快，且容易发生波动。所以在使用梯度下降前，需要将不同维度的特征约束至大致范围内。如，

load('ex3x.dat');
load('ex3y.dat');

m = size(ex3x, 1);
n = size(ex3x, 2) + 1;

x = [ones(m, 1) ex3x];
y = ex3y;

% scaling
mu = mean(x, 1);//均值
sigma = std(x, 1);//方差
for j = 2:n
   x(:,j) = (x(:,j) - mu(j))./sigma(j); 
end

1.5线性回归案例
案例：特征数据 $X$ 表示小男孩的年龄，范围在2-8岁之间，输出变量 $\vec y$ 为每个小男孩的高度，共50个样本。求线性回归模型 $h(x)$ 。
Matlab源代码为

%载入数据
x = load('ex2x.dat');
y = load('ex2y.dat');

%绘制数据
figure;
plot(x, y, 'o');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years');

%add x0=1
m = size(x, 1);
n = size(x, 2) + 1;
x = [ones(m, 1) x];

alpha = 0.07;
max_iter = 1500;

%iteratively train linear model parameters theta_0 and theta_1
theta = zeros(n, 1);

%first iteration
h = x*theta;
cost_function_pre = sum((h - y).*(h - y),1)/(2);

for j = 1:n
    dif = y - h;
    theta(j, 1) = theta(j, 1) + alpha * sum(dif.* x(:, j), 1)/m;
end

% second iteration
h = x*theta;
cost_function = sum((h - y).*(h - y),1)/(2);

thred = 0.00001;
iters = 2;
while(abs(cost_function - cost_function_pre) >= thred && iters < max_iter)
    iters = iters + 1;
    fprintf([num2str(iters) '; cost function:' num2str(iters) '\n']);

    % compute theta according to Gradient Descent
    for j = 1:n
        dif = y - h;
        theta(j, 1) = theta(j, 1) + alpha * sum(dif.* x(:, j), 1)/m;
    end

    cost_function_pre = cost_function;

    % compute cost function
    h = x*theta;
    cost_function = sum((h - y).*(h - y),1)/(2);
end

hold on;
plot(x(:,2), x*theta,'-');
legend('Training Data','Linear regression');