两个玻璃球求临界楼层问题

最新推荐文章于 2024-10-23 21:09:33 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-23 21:09:33 发布 · 6.8k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#最优算法 #算法

算法专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

利用两个玻璃球，寻找100层高楼摔碎临界楼层的最优策略。通过从14楼开始递减间隔的方式，最坏情况下仅需14次尝试就能确定临界楼层。该策略基于最坏情况的分析和迭代计算，确保在最少的尝试次数下找到答案。

问题描述：
有一栋100层高的大楼，给你两个完全相同的玻璃球。假设从某一层开始，丢下玻璃球会摔碎。那么怎么利用手中的两个球，用什么最优策略知道这个临界的层是第几层。

问题答案：

考虑best-worse case最坏情况下最优。也就是说假如你的算法是从第一楼逐楼往上试，那么相应最坏的情况是在100楼破，相应的是一百次。
这种情况下最优策略也就是从14楼开始递减间隔的办法，worst case 需要14次。

14 ， 27（14 + 13）， 39（27 + 12）， 50（39 + 11）， 60（50 + 10）， 69（60 + 9）， 77（69 + 8），84（77 + 7）， 90（84 + 6）， 95（90 + 5）， 99（95 + 4）

问题分析：

作者：bh lin
链接：https://www.zhihu.com/question/31855632/answer/54367825
来源：知乎

记n层s球的问题为Q(n,s),对应的最坏情况最优解为ba(n,s);
一些简单的结果：
(0) ba(m,2)>=ba(n,2) 如果m>n,trivial.
(1) ba(n,1)=n
当你只剩下一个球，为了能够检验出临界点，你只能逐层检验，最坏情况下所需的检验次数为n；
(2)ba(1,2)=1
(3)iterative: 假设你从k层扔球，有两种情形：
球破。那么临界层必然在1层到k-1层之间，剩下一球，由(1)得出，最坏情况最优所需的步数为: 1 + ba(k-1,1)=k;
球不破。问题变成n-k层两球的问题Q(n-k,2), 所以最坏情况最优所需步数是：1+ba(n-k,2);
综合1，2，最坏情况所需步数： $ba(n,2)=\max\{k,1+ba(n-k,2)\}$
当k=1+ba(n-k,2)的时候，
ba(n,2)=ba(n-k,2)+1
结合(2),(3),由(2)迭代得知:
当n = 1+2+3+...+k
ba(n,2)=k
当k=13时， n=91；
ba(100,2)=max(9,1+ba(91,2))=14
所以100层，最坏情况最优策略的步数是14.