感知机(perceptron)学习算法的对偶形式

算法：

$\qquad$ 输入：训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_N,y_N)\}$，
其中$x_i\in \Bbb R^n$,$y_i \in \{-1,1\}，i=1,2,\ldots,N$ ；学习率 $\eta(0\lt\eta\le1)$;
$\qquad$ 输出：$\alpha,b$；感知机模型$f(x)=sign(\sum_{j=1}^N \alpha_jy_jx_j\cdot x+b)$.
其中$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_N)^T$.
$\qquad$ (1) $\alpha\leftarrow 0 ,b\leftarrow 0$
$\qquad$ (2) 在训练集中选取数据$(x_i,y_i)$
$\qquad$ (3) 如果$y_i(\sum_{j=1}^N \alpha_jy_jx_j\cdot x_i+b)\le 0$

$$\alpha_i\leftarrow \alpha_i+\eta$$ $$b\leftarrow b+\eta y_i$$
$\qquad$ (4) 转至(2),直至训练集中没有误分类点。

模型：

$f(x)=sign(\sum_{j=1}^N \alpha_jy_jx_j\cdot x+b)$

策略：

误分类点到超平面 $S$ 的总距离

推理思路：

原始形式：

$$w\leftarrow w+\eta y_ix_i$$

$$b\leftarrow b+\eta y_i$$
最终修改完成后$w,b$关于$(x_i,y_i)$的增量分别为$\alpha_iy_ix_i$和$\alpha_iy_i$ $$w=\sum_{i=1}^N \alpha_iy_ix_i$$ $$b=\sum_{i=1}^N \alpha_iy_i$$