感知机(perceptron)学习算法的原始形式

算法：

$\qquad$ 输入:训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_N,y_N)\}$,其中$x_i\in \Bbb R^n$,$y_i \in \{-1,1\}，i=1,2,\ldots,N$ ；学习率 $\eta(0\lt\eta\le1)$;
$\qquad$ 输出：$w,b$ ; 感知机模型$f(x)=sign(w\cdot x+b)$.
$\qquad$ (1) 选择初值$w_0,b_0$
$\qquad$ (2) 在训练集中选取数据$(x_i,y_i)$
$\qquad$ (3) 如果$y_i(w\cdot x_i+b)\le 0$

$$w\leftarrow w+\eta y_ix_i$$ $$b\leftarrow b+\eta y_i$$
$\qquad$ (4) 转至(2),直至训练集中没有误分类点。

模型：

$f(x)=sign(w\cdot x+b)$

策略：

误分类点到超平面 $S$ 的总距离

推理思路：

任意一点$x_0$到超平面 $S$ 的距离为

$$\frac 1 {\lVert w \rVert} \lvert w\cdot x_0 +b\rvert$$
误分类点到超平面 $S$ 的距离为 $$-\frac 1 {\lVert w \rVert} y_i (w\cdot x_i + b)$$
所有误分类点到$S$的总距离为 $$-\frac 1 {\lVert w\rVert} \sum_{x_i\in M} y_i(w\cdot x_i+b)$$
不考虑$\lVert w\rVert$，损失函数定义为

$$L(w,b)=-\sum_{x_i\in M} y_i(w\cdot x_i+b)$$ 其中$M$为误分类点的集合。
最优化方法为随机梯度下降法 $$\nabla_w L(w,b)=-\sum_{x_i \in M} y_ix_i$$ $$\nabla_b L(w,b)=-\sum_{x_i\in M} y_i$$
随机选择一个误分类点$(x_i,y_i)$，对$w,b$进行更新： $$w\leftarrow w+\eta y_ix_i$$ $$b\leftarrow b+\eta y_i$$