HDU 1561（树形DP）

problem

ACboy很喜欢玩一种战略游戏，在一个地图上，有N座城堡，每座城堡都有一定的宝物，在每次游戏中ACboy允许攻克M个城堡并获得里面的宝物。但由于地理位置原因，有些城堡不能直接攻克，要攻克这些城堡必须先攻克其他某一个特定的城堡。你能帮ACboy算出要获得尽量多的宝物应该攻克哪M个城堡吗？

Input

每个测试实例首先包括2个整数，N,M.(1 <= M <= N <= 200);在接下来的N行里，每行包括2个整数，a,b. 在第 i 行，a 代表要攻克第 i 个城堡必须先攻克第 a 个城堡，如果 a = 0 则代表可以直接攻克第 i 个城堡。b 代表第 i 个城堡的宝物数量, b >= 0。当N = 0, M = 0输入结束。

Output

对于每个测试实例，输出一个整数，代表ACboy攻克M个城堡所获得的最多宝物的数量。

Sample Input

3 2
0 1
0 2
0 3
7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2
0 0

Sample Output

5
13

思路

将图转化为森林，如果攻克a城堡必须先攻克b城堡，那么b为a的父亲结点。若要选择一个结点，那么这个结点与该节点的父亲结点都要被选择，而该节点的孩子节点可选也可不选。定义dp[u][i]表示以u为根的子树，选取i个结点所能得到的宝物的最大值。再进行观察，这个动态规划与01背包相似，都是在数量限制的情况下获得的价值最高。可以这样列写转移方程：

dp[u][j]=max(dp[u][j],dp[v][k]+dp[u][j-k])
//1<=j<=M,k<j,v是u的直接孩子结点
//从根出发遍历一次树，在退出一个结点时向其父亲结点更新信息即可。

还有两处优化：
1.数据给的不一定是树，所以要统一加上一个根节点将森林转化为树，并将M+1。
2.dfs记录子树的结点数量为tt，在满足k < j && k<=tt[v]时，才进行转移。

代码示例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=210;

int value[maxn];
int dp[maxn][maxn];

vector<int> G[maxn];

int dfs(int u,int M){
    dp[u][1]=value[u];
    int t=1,tt;
    for(int i=0;i<G[u].size();++i){
        int v=G[u][i];
        tt=dfs(v,M-1);//tt是v的子树的结点数
        for(int j=M;j>=1;--j){//枚举当前子树中选择总的结点个数
            for(int k=1;k<=tt&&k<j;++k){//枚举从子树v中选择的总的结点个数
                dp[u][j]=max(dp[u][j],dp[v][k]+dp[u][j-k]);
            }
        }
        t+=tt;
    }
    return t;
}


int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int N,M;
    while(cin>>N>>M,N+M)
    {
        M++;//增加根节点
        for(int i=0;i<=N;++i)
            G[i].clear();
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        value[0]=0;
        int u;
        for(int i=1;i<=N;++i){
            cin>>u>>value[i];
            G[u].push_back(i);
        }
        dfs(0,M);
        cout<<dp[0][M]<<endl;
    }
    return 0;
}