【GDSOI2017第二轮模拟】树

最新推荐文章于 2023-12-31 01:07:59 发布

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本文介绍了一种利用Prüfer序列解决特定计数问题的方法，该问题是关于从给定点集中选择若干点构成不同大小有标号无根树的方案数量。文章通过动态规划算法实现了对这一问题的有效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

Description

有n个点，它们从1到n进行标号，第i个点的限制为度数不能超过A[i].
现在对于每个s (1 <= s <= n)，问从这n个点中选出一些点组成大小为s的有标号无根树的方案数。

Input

第一行一个整数n.
第二行n个整数表示A[i].

Output

输出一行n个整数，第i个整数表示s=i时的答案。答案模1004535809 = 479 * 2^{21} + 1。

Sample Input

3
2 2 1

Sample Output

3 3 2

Data Constraint

20%的数据：n <= 6
60%的数据：n <= 50
100%的数据：n <= 100

题解

首先这道题要用到一个叫prufer序列的猎奇废物东西，这个东西大概就是一个树（森林）的映射吧，即对于每一个编号为（1..n）的森林都有唯一对应的prufer序列，这个序列的生成方法就是每一次找到无根树的叶子节点，把与这个节点相连的点放到prufer序列中，然后删掉这个节点，反复做直到只有两个点
那么这一道题实际上就是求profit序列的个数，容易发现其实一个点出现的次数就是它的边数-1，所以我们可以直接dp
设f[i][j][k]表示现在做完前i个点，取了j个点，序列中有k个点的方案数，转移显然，初始状态就是f[0][0][0]

贴代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=105,md=1004535809;

ll c[maxn][maxn],f[maxn][maxn][maxn];
int a[maxn];
int i,j,k,l,n;
ll ans,x,y,z;


int main(){
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    fo (i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    c[1][1]=1;
    fo (i,2,n+1){
        c[i][1]=1;
        fo(j,2,i) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%md;
    }
    f[0][0][0]=1;
    fo (i,0,n-1){
        fo(j,0,i){
            fo(k,0,n){
                f[i+1][j][k]=(f[i+1][j][k]+f[i][j][k])%md;
                fo(l,0,a[i+1]-1) {
                    if (k+l>n) break;
                    x=f[i][j][k]*c[k+l+1][l+1];
                    x=x%md;
                    f[i+1][j+1][k+l]+=x;
                    if (f[i+1][j+1][k+l]>md) f[i+1][j+1][k+l]-=md;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d ",n);
    printf("%d ",n*(n-1)/2);
    fo(i,3,n) printf("%lld ",f[n][i][i-2]);

}