DTFT和DFT

本文详细阐述了离散时间傅里叶变换(DTFT)与离散傅里叶变换(DFT)之间的区别,包括变换后的图形特性、周期性、序列长度及DFT的理论基础。同时介绍了DFT在计算机技术中的重要性和快速傅里叶变换(FFT)的应用。

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1、DTFT是离散时间傅里叶变换,DFT是离散傅里叶变换。

2、DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的(cos(wn)等这样的特殊函数除外,其变换后是冲击串),而DFT是DTFT的等间隔抽样,是离散的点。从表示中可以看出,其函数表示为X(k),而DTFT的函数表示为X(exp(jw))。(这里主要突出DFT是DTFT的等间隔抽样,DTFT变化后的频率响应一般是连续的,DFT变换后的频率响应是离散的)

3、DTFT是以2pi为周期的。而DFT的序列X(k)是有限长的。

4、DTFT是以复指数序列{exp(-jwn)}的加权和来表示的,而DFT是等间隔抽样,既然是等间隔,那么间隔是多少呢?DFT里面有个重要的参数就是N,我们一般都会说,多少点DFT运算,这个点就是N(离散序列的长度),抽样间隔就是将单位元分成N个间隔来抽样,绕圆一周,(2*pi)/N是间隔(这个应该很明显吧,一个圆周是2*pi,分成N个等分,就像我们生日的时候切蛋糕一样)。

5、DTFT和DFT都能表征原序列的信息。因为现在计算主要使用计算机,必需要是离散的值才能参与运算,因此在工程中DFT应用比较广泛,DFT还有一个快速算法,那就是FFT。

基本上你答了上面的5点,面试官至少会对你刮目相看的。因为很多人对概念是很模糊的。

还有一个概念要搞清楚的就是,DFT的理论基础,为什么能用DFT?

我们将序列变化到频域了进行了处理之后还要能变化回来啊,为什么DFT只取了原来DTFT一个圆周上的离散的值也能表征原序列里面的所有信息。这是我们值得思考的问题。

这是因为原来的DTFT里面的很多信息是冗余的,我们只需要知道其中的N个点的值就能知道原来的序列。

这个的微妙之处就在IDFT了,因为你必须要有一种反变换能将这些信息还原回去啊,否则这样的变换就没有任何意义,通过IDFT,我们确实能将此序列变换回原来的时域序列。具体的公式可以去书上找,这里打出来太麻烦了。

总之记住一点,一般来说,长度为N的序列的频域完全可以用DTFT的N个等间隔的抽样样本来描述,并且这N个频率样本,可以通过一个简单的逆运算得到离散时间序列的原始样本。

DFT完全是应计算机技术的发展而来的,因为如果没有计算机,咱们用DTFT分析一下就可以了,看看频率响应就完了,但是很多时候我们如果要人工去算,那就会算死去哈,所以为了适应计算机算,那么就必须要用离散的值啊,(因为计算机不能处理连续的值啊,这个应该理解吧)。FFT是为了提高速度而来的,不要认为FFT就只有书上说的蝶形算法一种,实际上还有很多种,那只是其中的一种应用得很广泛的。

最后再提一个DTFT和Z变换的联系一句话搞定,DTFT是Z变换在单位圆上的值。

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### DTFTDFT的概念及其区别 离散时间傅立叶变换(Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)适用于无限长度的离散序列,其定义为: \[ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} \] 该表达式表明DTFT能够表示整个频率范围内的频谱特性[^2]。 相比之下,离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT),则用于有限长度N的离散序列。对于给定的\( N \)-点序列 \( x(n), (0≤n<N) \),对应的DFT由下述公式给出: \[ X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi kn/N},\quad k=0,\ldots ,N-1. \] 这意味着DFT实际上是从DTFT中抽取出来的特定样本集合,即当我们将连续变化的角度变量替换为离散角度间隔时所获得的结果。 因此,在实际应用中,由于计算机只能处理有限的数据集,所以通常采用的是DFT而不是DTFT来实现数值计算;而FFT作为高效算法实现了快速求解DFT的目的[^1]。 ### 应用场景对比 #### 使用DTFT的情况 - 当研究对象是一个理论上无穷长的理想化信号模型时; - 需要理论分析系统的频率响应特征而不必考虑具体实现细节的情况下。 #### 使用DFT的情景 - 对于真实世界中的物理测量数据或其他形式的实际采样得到的时间序列进行频域转换操作; - 实现各种基于频域的技术方案如滤波器设计、功率谱估计等工程实践领域内。 ```matlab % MATLAB code to demonstrate the difference between DTFT and DFT using a simple example. Fs = 100; % Sampling frequency t = 0:1/Fs:1-(1/Fs); % Time vector f = 15; % Frequency of sine wave x = sin(2*pi*f*t); figure; subplot(2,1,1); plot(t,x,'.-'); title('Time Domain Signal'); L = length(x); % Length of signal Y = fft(x); % Compute FFT/DFT P2 = abs(Y/L); % Two-sided spectrum P2 P1 = P2(1:L/2+1); % Single-sided spectrum P1 P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); f = Fs*(0:(L/2))/L; subplot(2,1,2); plot(f,P1) title('Single-Sided Amplitude Spectrum of Sine Wave') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('|P1(f)|') ```
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