【ZROI】【数学相关】【计数问题】【17 提高 6】异或统计

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本文介绍了一种利用位运算解决特定数学求和问题的方法。通过将问题分解为更简单的子问题，并采用前缀和思想，实现了高效求解三元组间特定运算结果的总和。该算法的时间复杂度为O(nlog²n)。

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首先考虑这个问题的简化版：求 $\sum (ai\ xor\ aj)*(aj\ xor\ ak)$ ，这就等价于求 $\sum_j((\sum ai\ xor\ aj)(\sum aj\ xor\ ak))$ ，只考虑对于每个j如何求 $\sum(ai\ xor\ aj)$ ，由于位运算具有不同位之间不相干的性质，所以可以分别对于每一位求对于答案的贡献，可以用 $sum[i][0]$ 表示第i位为0的前缀和， $sum[i][1]$ 表示第 $i$ 位为1的前缀和。这样，这个简化版的问题就被我们用 $O(nlogn)$ 的复杂度给解决了。

再来考虑原题。还是进行一道转化：

\sum (a i x o r a j) (a j x o r a k) (a i x o r a k) = \sum [(a i x o r a j) (a j x o r a k) \sum t = 0 l o g 2 A 2 t (B i t (a i, t) \neq B i t (a k, t))] = \sum t = 0 l o g 2 A 2 t \sum [(a i x o r a j) (a j x o r a k) (B i t (a i, t) \neq B i t (a k, t))]

$\sum(ai\ xor\ aj)(aj\ xor\ ak)(ai\ xor\ ak)\\ =\sum[(ai\ xor\ aj)(aj\ xor\ ak)\sum_{t=0}^{log_2A}2^t(Bit(ai,t)\neq Bit(ak,t))]\\ =\sum_{t=0}^{log_2A}2^t\sum[(ai\ xor\ aj)(aj\ xor\ ak)(Bit(ai,t)\neq Bit(ak,t))]$
这样，问题就被转化成了简化版，只要分别计算

Bit(ai,t)=0&Bit(ak,t)=1Bit(ai,t)=0&Bit(ak,t)=1 $Bit(ai,t)=0\&Bit(ak,t)=1$ 和

Bit(ai,t)=1&Bit(ak,t)=0Bit(ai,t)=1&Bit(ak,t)=0 $Bit(ai,t)=1\&Bit(ak,t)=0$ 的情况就可以了。

时间复杂度： $O(nlog^2n)$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 100006
#define tt 998244353
#define LL long long
#define Bit(x,y) ((x>>y)&1)
using namespace std;
int n,ans,a[maxn],f[maxn],g[maxn],s1[36],sum[36][2];
void work(int p){
    int s0=1;
    for(int t=0;t<=30;t++){
        memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=30;j++)(f[i]+=(LL)s1[j]*sum[j][1-Bit(a[i],j)]%tt)%=tt;
            if(Bit(a[i],t)==p)for(int j=0;j<=30;j++)(sum[j][Bit(a[i],j)]+=1)%=tt;
        }
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=n;i>=1;i--){
            for(int j=0;j<=30;j++)(g[i]+=(LL)s1[j]*sum[j][1-Bit(a[i],j)]%tt)%=tt;
            if(Bit(a[i],t)!=p)for(int j=0;j<=30;j++)(sum[j][Bit(a[i],j)]+=1)%=tt;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)(ans+=(LL)s0*f[i]%tt*g[i]%tt)%=tt;
        (s0<<=1)%=tt;
    }
}
int main(){
    freopen("A.in","r",stdin);
    freopen("A.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    s1[0]=1;
    for(int i=1;i<=30;i++)s1[i]=(s1[i-1]<<1)%tt;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    work(1);work(0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}