平衡树之SplayTree

SplayTree，即伸展树，是竞赛中很常用的一种平衡树，它可以实现序列的分裂合并，并且保证均摊复杂度是O(nlogn)。
与Treep类似的，SplayTree也是基于旋转的，Splay，即伸展操作的实质就是在一棵子树中找到一个节点并把它旋转到根，复杂度靠谱的Splay有三种旋转（注意不要擅自修改旋转的方式，因为SplayTree复杂度的证明正是基于它的旋转方式的，否则可能会变成复杂度不靠谱的SpalyTree等）:
1.目标节点是根节点的儿子节点:
…………..root………..
…………./………………
…………k……….(图略劣质别介意)
这时只需要进行一次旋转操作
2.目标节点是根节点下两层节点并且与根节点成直线(即是根节点的左儿子的左儿子，或是根节点的右儿子的右儿子）
………..root……
………/……………
……..s…………….
……./……………..
……k………………
这时只要连续两次旋转根节点就可以
3.目标节点是根节点下两层节点并且与根节点成折线(即是根节点的左儿子的右儿子，或是根节点的右儿子的左儿子）
………..root………..
………../………………
……….s………………
………..|………………
………..k…………….(由于\显示不出来，所以用|代替）
这时只要先将k旋到s的位置，再对root进行一次旋转就可以
看起来好像情况很复杂，但是，看了某汝佳的书后才发现代码可以这么缩:

void splay(pnode &p,int k){
    p->pushdown();
    int d1=p->cmp(k);
    if(d1!=-1){
        p->ch[d1]->pushdown();int d2=p->ch[d1]->cmp(k);
        if(d2!=-1){
            splay(p->ch[d1]->ch[d2],k);
            if(d1==d2)rot(p,d1^1);
                 else rot(p->ch[d1],d2^1);
        }
        rot(p,d1^1);
    }
}

另外，为了便于写代码，对cmp函数做一个小改动，即在比较的同时对k进行一个改动，若搜索的是右子树，就将k减去（左子树的个数+1），这样方便下一步的splay,代码如下：

    int cmp(int &k){
        if(k<ch[0]->num+1)return 0;
        if(k==ch[0]->num+1)return -1;
        k-=ch[0]->num+1;return 1;
    }

这样，splay操作就完成了，再次提醒:
千万不要自作聪明的修改某些操作，建议将每种旋转后的树形都画一下，然后你会发现，和自己想出来的旋转方式最终的结果是不一样的。
SplayTree最常见的应用是维护一个可删除插入的序列，有了splay这个操作，我们就可以方便的实现各种操作了。
删除：
删除一段序列，只要把要删除的序列的第一个元素前一个元素旋到树根，再把要删除的序列的最后一个元素的后一个元素旋到树根的右儿子，这时，树根的右儿子的左儿子就是需要删除的序列。不要忘记，删除完之后标记要更新。
插入：
为了插入一段序列，首先要把插入的序列变成一个SplayTree（如果一个个插入的话，遇到操作次数多的题目就会TLE），怎么快速的将一段序列变成一个SplayTree？可以每次将序列从中间分成左右两段，左边的放左子树，右边的放右子树，代码如下：

pnode build(int l,int r,int*arr){
    if(l>r)return null;
    int mid=(l+r)/2;
    pnode p=newnode(*(arr+mid));
    p->ch[0]=build(l,mid-1,arr);p->ch[1]=build(mid+1,r,arr);
    p->maintain();
    return p;
}

这样，将插入位置的前一个元素旋到树根，再讲插入位置的后一个元素旋到根的右儿子（这时，根的右儿子的左儿子一定是空），再把造好的新SplayTree作为根的右儿子的左子树。插入玩以后依然要更新标记。
其他的一些操作如求和，区间修改等就不多说了，反正就是利用伸展操作把需要处理的区间拎到一棵单独的子树上，然后各种标记，另外，懒标记的思想在SplayTree也是适用的，这使得SplayTree的功能要强大的多。
另外，在学习SplayTree的一定不能错过BZOJ1500，附上此题代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF -1e9
#define maxn 500006
using namespace std;
struct node{
    node* ch[2];
    int key,num,sum,maxs,maxl,maxr,tag,flip;
    void add_tag(int k){
        key=tag=k;sum=k*num;
        if(k>0)maxs=maxl=maxr=k*num;
          else maxs=maxl=maxr=k;
    }
    void add_flip(){
        swap(maxl,maxr);swap(ch[0],ch[1]);flip^=1;
    }
    void pushdown(){
        if(tag!=INF)ch[0]->add_tag(tag),ch[1]->add_tag(tag),tag=INF;
        if(flip)ch[0]->add_flip(),ch[1]->add_flip(),flip=0;
    }
    int maintain(){
        sum=ch[0]->sum+key+ch[1]->sum;num=ch[0]->num+1+ch[1]->num;
        maxl=max(max(ch[0]->maxl,ch[0]->sum+key),ch[0]->sum+key+ch[1]->maxl);
        maxr=max(max(ch[1]->maxr,ch[1]->sum+key),ch[1]->sum+key+ch[0]->maxr);
        maxs=max(key,max(ch[0]->maxr+key+ch[1]->maxl,max(max(ch[0]->maxs,ch[1]->maxs),max(ch[0]->maxr+key,key+ch[1]->maxl))));
    }
    int cmp(int &k){
        if(k<ch[0]->num+1)return 0;
        if(k==ch[0]->num+1)return -1;
        k-=ch[0]->num+1;return 1;
    }
}nul;
typedef node* pnode;
pnode rt,null=&nul;
pnode newnode(int key){
    pnode p=new node;p->key=p->sum=p->maxs=p->maxl=p->maxr=key;p->ch[0]=p->ch[1]=null;
    p->tag=INF;p->flip=0;p->num=1;
    return p;
}
void rot(pnode &p,int d){
    pnode k=p->ch[d^1];p->ch[d^1]=k->ch[d];k->ch[d]=p;
    p->maintain();k->maintain();p=k;
}
void splay(pnode &p,int k){
    p->pushdown();
    int d1=p->cmp(k);
    if(d1!=-1){
        p->ch[d1]->pushdown();int d2=p->ch[d1]->cmp(k);
        if(d2!=-1){
            splay(p->ch[d1]->ch[d2],k);
            if(d1==d2)rot(p,d1^1);
                 else rot(p->ch[d1],d2^1);
        }
        rot(p,d1^1);
    }
}
void del(pnode p){
    if(p==null)return;
    del(p->ch[0]);del(p->ch[1]);
    delete p;
}
pnode build(int l,int r,int*arr){
    if(l>r)return null;
    int mid=(l+r)/2;
    pnode p=newnode(*(arr+mid));
    p->ch[0]=build(l,mid-1,arr);p->ch[1]=build(mid+1,r,arr);
    p->maintain();
    return p;
}
void print_splay(pnode p){
    if(p==null)return;
    p->pushdown();
    print_splay(p->ch[0]);
//  printf("%d ",p->key);
    print_splay(p->ch[1]);
}
int _read(){
    char ch=getchar();int p,sum=0;
    while((ch!='-')&&(!(ch>='0'&&ch<='9')))ch=getchar();
    if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();else p=1;
    while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
    return sum*p;
}
int n,m,c[maxn];
int main(){
    null->ch[0]=null->ch[1]=null;null->num=null->flip=null->sum=null->key=0;null->tag=null->maxl=null->maxr=null->maxs=INF;
    freopen("sequence.in","r",stdin);
    freopen("sequence.out","w",stdout);
    n=_read();m=_read();
    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=_read();c[n+1]=0;
    rt=build(0,n+1,c);
    for(int t=1;t<=m;t++){
        char s[30];scanf("%s",s);
        if(s[0]=='I'){
            int x=_read(),tot=_read();x++;
            for(int i=1;i<=tot;i++)c[i]=_read();
            splay(rt,x);splay(rt->ch[1],1);
            rt->ch[1]->ch[0]=build(1,tot,c);
            rt->ch[1]->maintain();rt->maintain();
        }else
        if(s[0]=='D'){
            int x=_read(),tot=_read();x++;
            splay(rt,x-1);splay(rt->ch[1],tot+1);
            del(rt->ch[1]->ch[0]);rt->ch[1]->ch[0]=null;
            rt->ch[1]->maintain();rt->maintain();
        }else
        if(s[2]=='K'){
            int x=_read(),tot=_read(),y=_read();x++;
            splay(rt,x-1);splay(rt->ch[1],tot+1);
            rt->ch[1]->ch[0]->add_tag(y);
        }else
        if(s[0]=='R'){
            int x=_read(),tot=_read();x++;
            splay(rt,x-1);splay(rt->ch[1],tot+1);
            rt->ch[1]->ch[0]->add_flip();
        }else
        if(s[0]=='G'){
            int x=_read(),tot=_read();x++;
            splay(rt,x-1);splay(rt->ch[1],tot+1);
            printf("%d\n",rt->ch[1]->ch[0]->sum);
        }else{
            splay(rt,1);splay(rt->ch[1],rt->ch[1]->num);
            printf("%d\n",rt->ch[1]->ch[0]->maxs);
        }
//      print_splay(rt);
    }
    return 0;
}