uva11997 - K Smallest Sums

原创于 2019-04-25 21:34:09 发布 · 215 阅读

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本文详细解析了UVA-11997问题的解决方案，采用巧妙的方法将多序列最小和问题转化为两序列问题，通过优先级队列实现高效求解。介绍了刘汝佳书中提及的k路归并技巧，适用于处理k个有序序列的前n项求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://vjudge.net/problem/UVA-11997

题解

真是涨姿势了
首先，我可以把 $k$ 个序列的问题拆成多个 $2$ 个序列的问题来做
我可以先求前两个序列和的前 $k$ 小，然后把这 $k$ 个数当成一个新的序列，再和第三个序列这样来做
如此做的科学性在哪里呢？
假设我最后的答案表示成若干个三元组 $a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2)...(a_k,b_n,c_k)$
显然根据我的方法，任何 $a_i,b_i,c_i)$ 中的 $a_i+b_i$ 都属于前两个序列得到的前 $k$ 小，如果我把它替换成一个 $a_i+b_i$ 不是前 $k$ 小的，答案就会变得更劣
也就是说原来的答案是最优的
如此归纳下去就可以证明以上做法的正确性

然后说一下怎么处理 $k = 2$ 的问题
直接求出 $k^2$ 个和是不现实的
刘汝佳的书中给出了这样的神奇思路：
假设序列是 ${A_k\}$ ， ${B_k\}$ ，我先使 $B_i$ 有序
然后看作 $k$ 路归并
$A_1+B_1 \leq A_1+B_2\leq \dots \leq A_1+B_k$
$\dots$
$A_k+B_1 \leq A_k+B_2\leq \dots \leq A_k+B_k$
现在就成了求这 $k$ 个有序表归并得到的最终表的前 $k$ 项
可以想到先把每个表的表头存到优先级队列里去，然后取 $k$ 次，每次把后继点放进去
这种做法是基于有序性的，因为当 $A_i+B_j$ 还在优先队列里的时候， $A_i+B_{j+1}$ 目前就不会影响到答案
其实只要是 $k$ 个有序序列，满足不减，而且由每一项都能推出下一项，让求最终归并得到的表的前 $n$ 个数的时候，就可以用这种方法
可以想象，这种有序序列不一定是这个题给出的这种，也可以是一个有递推式的数列（此处可出题）

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1010
#define linf (1ll<<60)
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define mkp(x,y) make_pair((x),(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pr;
ll a[maxn], N, last[maxn];
void merge(ll *a, ll *b, ll *c)
{
    ll i;
    priority_queue< pr, vector<pr>, greater<pr> > pq;
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        pq.emplace(mkp(a[i]+b[1],1));
    }
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        auto x=pq.top(); pq.pop();
        c[i]=x.first;
        if(x.second<N)pq.emplace(mkp(x.first-b[x.second]+b[x.second+1],x.second+1));
    }
}
int main()
{
    ll i, j;
    while(cin>>N)
    {
        for(i=1;i<=N;i++)
        {
            for(j=1;j<=N;j++)scanf("%lld",a+j);
            sort(a+1,a+N+1);
            if(i==1)
            {
                memcpy(last,a,sizeof(last));
                continue;
            }
            merge(last,a,last);
        }
        for(i=1;i<=N;i++)printf("%lld",last[i]), putchar(i==N?10:32);
    }
    return 0;
}