uva10561 - Treblecross

原创于 2018-09-24 17:04:16 发布 · 237 阅读

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本文深入探讨了一种基于组合游戏的策略分析方法，通过枚举先手放置位置并判断新局势是否为先手必败，结合XXX布局分析，利用SG定理进行游戏状态评估，最终通过代码实现验证策略的有效性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1502

题解

一开始我也是从组合游戏的和的角度取考虑的，但是我把 $X$ 作为一个游戏的左右边界了，这样思路就进了死胡同
大方向是这样的，枚举先手放在哪里，然后对这种新局面判断是不是先手必败

首先判断是不是已经出现了三个 $X$ 相连的情形，如果出现了，那么当前局面就属于先手必败
另外XX.，X.X，这两种情形一旦出现，那就是先手必胜了

排除以上两种情形之后，剩下的 $X$ 的两两间隔至少为 $2$
聪明的玩家不会往一个 $X$ 的左边或者右边的相邻或相隔 $1$ 的位置放一个 $X$ ，他如果这么放，对手下一步就赢了
那么我就把这一块区域看作是禁区，谁放谁输
最后不得不放在禁区的人就输了
现在问题变了，每次选一个非禁区的点，放下一个 $X$ ，把以它为中心的 $5$ 个格子都设为禁区，最后不能操作的人输
不难发现，我把禁区标注出来之后，剩下的区域每个区域都是一个单独的组合游戏，整个游戏变成组合游戏的和
所以 $S G$ 定理可以使用了
初始状态， $s g (1) = s g (2) = s g (3) = 1, s g (4) = s g (5) = 2$
当 $i > 5$ 时， $sg(i)=mex\{sg(i-3),sg(i-4),sg(i-5),sg(j)\ xor\ sg(i-5-j)\}$ ，其中 $i - 5 - j > 0$
这其实就是枚举在哪个位置放一个 $X$ ，把序列分成两部分，每一部分又是一个子游戏，利用 $S G$ 定理来计算整个游戏的 $S G$ 函数
当前游戏的 $S G$ 函数，就是每个连续非禁区的 $s g$ 的 $n i m$ 和

代码

//组合游戏
#include <bits/stdc++.h>
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define maxn 210
int N, sg[maxn], vis[maxn], a[maxn], lis[maxn];
char now[maxn];
void preprocess()
{
	int i, j;
	sg[1]=sg[2]=sg[3]=1;
	sg[4]=sg[5]=2;
	for(i=6;i<maxn;i++)
	{
		cl(vis);
		vis[sg[i-3]]=vis[sg[i-4]]=vis[sg[i-5]]=1;
		for(j=1;j<=i-5-j;j++)vis[sg[j]^sg[i-5-j]]=1;
		for(j=0;vis[j];j++);
		sg[i]=j;
	}
}
bool check()
{
	int i, j, c, nim_sum=0;
	cl(a);
	for(i=2;i<N;i++)if(now[i]==now[i-1] and now[i]==now[i+1] and now[i]=='X')return true;
	for(i=2;i<N;i++)
	{
		c=(now[i-1]=='X')+(now[i]=='X')+(now[i+1]=='X');
		if(c==2)return false;
	}
	for(i=1;i<=N;i++)
		if(now[i]=='X')
			for(j=0;j<3;j++)
			{
				if(i+j<=N)a[i+j]=1;
				if(i-j>0)a[i-j]=1;
			}
	for(i=1;i<=N;i=j+1)
		if(a[i]){j=i;continue;}
		else
		{
			for(;a[j+1]==0 and j<N;j++);
			nim_sum^=sg[j-i+1];
		}
	return nim_sum==0;
}
int main()
{
	int i, j, T;
	preprocess();
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",now+1); N=strlen(now+1);
		*lis=0;
		for(i=1;i<=N;i++)
		{
			if(now[i]=='.')
			{
				now[i]='X';
				if(check())lis[++*lis]=i;
				now[i]='.';
			}
		}
		if(*lis)printf("WINNING\n%d",lis[1]);
		for(i=2;i<=*lis;i++)printf(" %d",lis[i]);
		if(!*lis)printf("LOSING\n"); 
		putchar(10);
	}
	return 0; 
}