NOIP2015 子串

NOIP2015子串

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题解

雏形

　　用$len_{i,j}$表示$a$串中以$a[i]$为结尾的后缀，和$b$串中以$b[i]$为结尾的后缀匹配的最长长度，这个可以用简单的$O(nmk)$的预处理求出
　　设计状态：$f_{i,j,k}$表示$a$串中以$a[i]$为结尾的后缀，和$b$串中以$b[j]$为结尾的后缀匹配，a串中k个子串加起来和$b[1]...b[j]$相等，状态转移方程：

$$f_{i,j,k}=\sum_{l=1}^{len_{i,j}}\sum_{t=1}^{i-l}f_{t,j-l,k-1}$$
伪代码

for(k=1 to K)
    for(i=1 to N)
        for(j=1 to M)
            for(l=1 to len[i][j])
                for(t=1 to l)
                        f[i][j][k]+=f[t][l][k-1]

　　上述的时间复杂度在最差情况下是$O(NM^4)$约等于$1.6\times10^{12}$，空间复杂度$O(nmk)$约等于$4\times10^7$，完爆

优化

　　观察方程

$$f_{i,j,k}=\sum_{l=1}^{len_{i,j}}\sum_{t=1}^{i-l}f_{t,j-l,k-1}$$
　　如果把f数组想象成三维坐标系中的一些坐标为整数的点，那么每一个与k轴垂直的平面的转移都只需要用到前一个平面上的值，所以可以加一个滚动数组，这样就能把空间复杂度降到 $O(nm)$
　　继续，由于 $\sum_{t=1}^{l}$表示的是一段连续的区间，就意味着我们可以进行前缀和优化，令 $$s_{i,j,k}=\sum_{t=1}^{i}f_{t,j,k}$$
　　那么状态转移方程变为 $$f_{i,j,k}=\sum_{l=1}^{len_{i,j}}s_{i-l,j-l,k-1}$$
　　其中由于s数组是前缀和，所以直接用 $O(1)$的时间进行转移， $s_{i,j}=s_{i-1,j}+f_{i,j}$。最终时间复杂度 $O(nmk\times 平均匹配长度)$最坏情况下约等于 $8\times10^9$
　　按照联赛的数据，这样是可以AC的，但是这样并不完美，如果有一种数据把nmk都开到最大，并且字符串形如 $aa.....aaaa$这样只有一种字母，那就会超时了
　　 决定性的优化：前缀和的前缀和
　　根据上面的方程，仍然发现 $\sum$的循环变量的取值是连续的，所以继续使用前缀和优化，令
　　 $$ss_{i,j,k}=\sum_t^{min(i,j)}s_{i-t,j-t,k}$$
　　这个也可以用递推式在 $O(1)$的时间内算出
　　最后的状态转移方程：
　　 $$f_{i,j,k}=ss_{i-1,j-1,k-1}-ss_{max(0,i-len_{i,j}-1),max(0,j-len_{i,j}),k-1}$$
　　最后的时间复杂度 $O(nmk)$，最坏情况下约等于 $4\times10^7$

刻骨铭心的教训

　　这道题我其实只用了一小会就写出正解了，但是由于没看到“输出答案对1,000,000,007取模的结果”竟然查错查了一上午！

代码

//NOIP2015 子串 动态规划 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define p 1000000007
#define ll long long
#define maxn 1010
#define maxm 210
using namespace std;
ll f[maxn][maxm][2], s[maxn][maxm][2], ss[maxn][maxm][2],
   len[maxn][maxm], N, M, K;
char a[maxn]={0}, b[maxm]={1};
void init()
{
    ll i, j, l;
    scanf("%lld%lld%lld%s%s",&N,&M,&K,a+1,b+1);
    for(i=1;i<=N;i++)
        for(j=1;j<=M;j++)
            for(l=1;a[i-l+1]==b[j-l+1];len[i][j]=l++);
}
void dp()
{
    ll i, j, k;
    for(i=1;i<=N;i++)
        for(j=1;j<=M;j++)
        {
            f[i][j][1]=len[i][j]==j;
            s[i][j][1]=s[i-1][j][1]+f[i][j][1];
            ss[i][j][1]=ss[i-1][j-1][1]+s[i][j][1];
        }
    for(k=2;k<=K;k++)
    {
        for(i=1;i<=N;i++)
            for(j=1;j<=M;j++)
            {
                f[i][j][k&1]=(ss[i-1][j-1][~k&1]-ss[max((ll)0,i-len[i][j]-1)][max((ll)0,j-len[i][j]-1)][~k&1])%p;
                s[i][j][k&1]=(s[i-1][j][k&1]+f[i][j][k&1])%p;
                ss[i][j][k&1]=(ss[i-1][j-1][k&1]+s[i][j][k&1])%p;
            }
    }
}
int main()
{
    ll i, ans;
    init();
    dp();
    for(i=M,ans=0;i<=N;ans=(ans+f[i++][M][K&1])%p);
    printf("%lld\n",(ans+p)%p);
    return 0;
}