HDU 1060 Leftmost Digit（数论）

最新推荐文章于 2020-10-15 23:26:18 发布

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本文介绍一种高效算法，用于解决大数N^N情况下求解结果最高位数字的问题。通过科学计数法和对数转换，巧妙避开直接计算带来的溢出或超时难题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Leftmost Digit

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 15294 Accepted Submission(s): 5932

Problem Description

Given a positive integer N, you should output the leftmost digit of N^N.

Input

The input contains several test cases. The first line of the input is a single integer T which is the number of test cases. T test cases follow.
Each test case contains a single positive integer N(1<=N<=1,000,000,000).

Output

For each test case, you should output the leftmost digit of N^N.

Sample Input

2
3
4

Sample Output

2
2

Hint

In the first case, 3 * 3 * 3 = 27, so the leftmost digit is 2.
In the second case, 4 * 4 * 4 * 4 = 256, so the leftmost digit is 2.

Author

Ignatius.L

题目大意是输入N，求N^N的最高位数字。1<=N<=1,000,000,000

估计大家看到N的范围就没想法了。

确实N的数字太大，如果想算出结果，即使不溢出也会超时。

题目是这样转化的。

首先用科学计数法来表示 N^N = a*10^x;

比如N = 3; 3^3 = 2.7 * 10^1;

我们要求的最右边的数字就是(int)a，即a的整数部分;

OK, 然后两边同时取以10为底的对数 lg(N^N) = lg(a*10^x) ;

化简 N*lg(N) = lg(a) + x;

继续化 N*lg(N) - x = lg(a)

a = 10^(N*lg(N) - x);

现在就只有x是未知的了，如果能用n来表示x的话，这题就解出来了。

又因为，x是N^N的位数。比如 N^N = 1200 ==> x = 3;

实际上就是 x 就是lg(N^N) 向下取整数，表示为[lg(N^N)]

a = 10^(N*lg(N) - [lg(N^N)]);

然后(int)a 就是答案了。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
	int ncase;
	__int64 n, ans;
	long double t;
	scanf("%d", &ncase);
	while (ncase--)
	{
		scanf("%I64d", &n);
		t = n * log10(n+0.0);
		t -= (__int64)t;
		ans = pow((long double)10, t);
		printf("%I64d\n", ans);
	}
	return 0;
}