康托展开与欧拉函数-优快云博客

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康拓展开：

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

康拓展开可以很方便的求出将一系列数全排列之后，给出任意一种排列，找出它是这全排列中的第几个。

实例

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个小的数可以这样考虑：

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个小数。

好，下面我们来看例题：

题目描述

现在有"abcdefghijkl”12个字符，将其所有的排列中按字典序排列，给出任意一种排列，说出这个排列在所有的排列中是第几小的？

输入

第一行有一个整数n（0<n<=10000）;
随后有n行，每行是一个排列；

输出

输出一个整数m，占一行，m表示排列是第几位；

样例输入

3 abcdefghijkl hgebkflacdji gfkedhjblcia

样例输出

1 302715242 260726926

代码如下：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <string>

#include <algorithm>

using namespace std;

int fac(int n)

{

int s=1;

for(int i=1;i<=n;i++)

s=s*i;

return s;

}

int main()

{

int T;

char a[12];

int b[12];

scanf("%d", &T);

while(T--)

{

int i,j,k,s=0;

for(i=0;i<12;i++)

{

scanf(" %c",&a[i]);

b[i]=a[i]-'a'+1;

}

for(i=0;i<12;i++)

{

k=b[i]-1;

for(j=0;j<i;j++)

if(b[i]>b[j])

k--;

s=s+k*fac(11-i);

}

printf("%d\n",s+1);

}

return 0;

}

叉乘1：求三角形面积

a∧b=|向量a×向量b|=|a||b|sinθ，在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。

又S=|a||b|sinθ/2，所以S=a∧b/2；

叉乘的求法：设a=（x1,y1）,b=(x2,y2),那么a∧b=x1*y2-x2*y1;

题目描述

给定一个线段，两端点分别是(x1,y1),(x2,y2),求某点至该线段的最短和最长距离，该点的坐标是（x0,y0）, 保证线段上的两端点不互相重合。

输入

依次给出x0,y0,x1,y1,x2,y2的坐标，依照题目描述求出最短和最长距离

输出

输出保留两位小数

样例输入

1.0 2.0 1.0 2.0 3.0 2.0

1.0 2.0 3.0 0.0 5.0 0.0

1.0 2.0 0.0 0.0 3.0 0.0

样例输出

0.00 2.00

2.83 4.47

2.00 2.83

代码如下：

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

double max(double a,double b)

{

return a>b?a:b;

}

double min(double a,double b)

{

return a<b?a:b;

}

int main()

{

double x1,y1,x2,y2,x3,y3,A,B,C,d1,d2,d3,S;

while(~scanf("%lf %lf %lf %lf %lf %lf",&x3,&y3,&x1,&y1,&x2,&y2))

{

S=fabs((x1-x3)*(y1-y2)-(x1-x2)*(y1-y3));

d1=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));

d2=sqrt((x1-x3)*(x1-x3)+(y1-y3)*(y1-y3));

d3=sqrt((x2-x3)*(x2-x3)+(y2-y3)*(y2-y3));

if(d1*d1+d3*d3-d2*d2<0) printf("%.2lf %.2lf\n",min(d2,d3),max(d2,d3));

else if(d2*d2+d1*d1-d3*d3<0) printf("%.2lf %.2lf\n",min(d2,d3),max(d2,d3));

else printf("%.2lf %.2lf\n",S/d1,max(d2,d3));

}

return 0;

}

题其实不难，用面积处以底，即得到高，高就是最短距离；

但要注意的是，如果高在三角形外面，就不能拿高当其最短距离。

只有当这三点构成的三角形是钝角三角形时，才会出现高在三角形之外的情况；只有当钝角三角形的最长边为给定线段时，最短距离对应的高才在三角形之内。

叉乘2：

叉乘得出的结果其实是一个向量，所以它是有方向的，在求三角形面积是我们要的是结果，所以忽略它的方向；但当求四边形面积即两个三角形面积的时候，就要考虑其方向了；

对于四边形ABCD，对角线AB，两侧各取一点C、D，必然有CAxCB=-DAxDB。

我们来看下题：

题目描述

平面坐标上有n个点，你知道能组成四边形中面积最大的是多少吗？

输入

有多组测试数据
第一行整数n，表示有n个点，( 4<=n<=300 )
然后n行，每行x，y表示点的坐标。(没有重复的点)

输出

最大四边形的面积.(保留六位小数)

样例输入

0 0

0 4

4 0

4 4

2 3

样例输出

16.000000

#include <iostream>

#include <math.h>

#include <algorithm>

#include <stdio.h>

#include <string.h>

using namespace std;

#define maxn 310

struct point

{

double x,y;

}q[maxn];

double cross(point p1,point p2,point p0)

{

return ((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x))*0.5;

}

double max(double a,double b)

{

if(a>b) return a;

return b;

}

int main()

{

int n,i;

scanf("%d",&n);

for(i=0;i<n;i++)

scanf("%lf %lf",&q[i].x,&q[i].y);

double ans=0,lmax,rmax;

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int j=i+1;j<n;j++)

{

rmax=0,lmax=0;

for(int k=0;k<n;k++)

{

if(k!=i && k!=j)

{

double s=cross(q[i],q[j],q[k]);

if(s<0)

{

lmax=max(lmax,-s);

}

else

{

rmax=max(rmax,s);

}

if(lmax!=0 && rmax!=0)

ans=max(ans,(rmax+lmax));

}

printf("%lf\n",ans);

return 0;

}

其中q[i]和q[j]就是两个定点，也就是四边形的对角线，我们从余下的点中随机取一个点，在对角线左边和对角线右边的点与对角线构成的三角形的叉乘的正负不同，所以我们可以把他们分离；在左边找一个最大值，再在右边找一个最大值，这样就是该对角线所组成的最大四边形；然后我们把所有的对角线都枚举出来，这样就找出了最大的四边形面积。

欧拉函数：

利用欧拉函数可以求出n以内与n互质的数的个数，比如

ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；

ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8；

ψ（49）=49×（1－1/7）=42。

也就是说，10以内与10（不包括10）互质的数有4个，即1，3，7，9；

30以内与30（不包括30）互质的数有8个。

求法就是先求出n以内的约数，然后用上面的公式即可求得。

题目描述

Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.