介绍一种浮点数表示算法

因为掩藏的事没有不显出来的；隐瞒的事没有不露出来被人知道的。

——路加福音【8:17】

一、说明

1．本文为各传感器合理范围内的数值(DATA)提供数据表示方案。

2．数据由四个字节组成，能够表示正负数、范围内的单精度浮点数。

3．取值范围：

4．最接近于零的值：

5．有效精度为0.0005。由于采用IEEE754表示的数据，当表示较大数据时有效精度偏大，故不采用IEEE754标准的数据表示方法。

6．本文中的十六进制数值总称统一使用DATA表示。

二、标准数据格式

1．格式说明

★DATA共计32位（4字节）

★31位是符号位，1表示该数为负，0表示该数为负

★30~26位一共5位是 指数位（-16~15）

★25~0位一共26位是尾数位，尾数的编码为原码

从逻辑上用三元组{S,E,M}来表示一个数N:

 

2．数据表示

◆表达式：

 

◆说明：

n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，包含数据的整数部分和小数部分，根据指数位进行区分。

3．计算方法

☆s的取值为0或1；

☆m包含的位数为26个bit位；

☆隐含位：表达式中 1.m 中小数点左边的那一位被称作隐含位，隐含位大多数情况下为1，只有当E为0的情况下为0。

☆本算法的偏置量为16。

☆e的值计算方式：

当E∈(0,2⁵-1]时，e=E-16,例E=10101,所以e=22-16=6；

当E=0时，e=1-16；

 

依据隐含位和E值的处理能够实现大于1和小于1的正数之间的平滑过度。

三、数据转化用例

1．特殊用例

表示最大正数

二进制：0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

十六进制：7F FF FF FF

计算过程：

s=0

e=(11111)₂-(16)₁₀=15

m=(11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂

∴N = (-1)⁰*(1.11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂*2¹⁵

= 2¹⁶-(1/2)¹¹= 65535.99951171875

表示的值为：65535.99951171875

 

表示最小负数

二进制：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

十六进制：FF FF FF FF

计算过程：

s=1

e=(11111)₂-(16)₁₀=15

m=(11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂

∴N = (-1)¹*(1.11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂*2¹⁵

= -2¹⁶+(1/2)¹¹= -65535.99951171875

表示的值为：-65535.99951171875

 

表示最接近于0的正数

二进制：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

十六进制：00 00 00 01

计算过程：

s=0

e=(1)₁₀-(16)₁₀= -15

m=(00 0000 0000 0000 0000 0000 0001)₂

∴N = (-1)⁰*(0.00 0000 0000 0000 0000 0000 0001)₂*2^-15

= 2^-41 = 4.5474735088646411895751953125*10^-13

表示的值为：4.5474735088646411895751953125*10^-13

 

表示最接近于0的负数

二进制：1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

十六进制：80 00 00 01

计算过程：

s=1

e=(1)₁₀-(16)₁₀= -15

m=(00 0000 0000 0000 0000 0000 0001)₂

∴N = (-1)¹*(0.00 0000 0000 0000 0000 0000 0001)₂*2^-15

= -2^-41 = -4.5474735088646411895751953125*10^-13

表示的值为：-4.5474735088646411895751953125*10^-13

 

两种方式表示的过渡值

二进制：0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111

十六进制：03 FF FF FF

计算过程：

s=0

e=(1)₁₀-(16)₁₀= -15

m=(11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂

∴N = (-1)⁰*(0.11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂*2^-15

= (1-2^-26) *2^-15= 3.051757767025264911353588104248*10^-5

表示的值为：3.051757767025264911353588104248*10^-5

 

二进制：0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

十六进制：07 FF FF FF

计算过程：

s=0

e=(000 01)₂-(16)₁₀= -15

m=(11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂

∴N = (-1)⁰*(1.11 1111 1111 1111 1111 1111 1111)₂*2^-15

= (2-2^-26) *2^-15= 6.103515579525264911353588104248*10^-5

表示的值为：6.103515579525264911353588104248*10^-5

 

1的表示

二进制：0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

十六进制：40 00 00 00

计算过程：

s=0

e=(100 00)₁₀-(16)₁₀= 0

m=(00 0000 0000 0000 0000 0000 0000)₂

∴N = (-1)⁰*(1.00 0000 0000 0000 0000 0000 0000)₂*2⁰

= 1

表示的值为：1

2．典型用例

①十进制数：1234.5678

计算过程：

1234.5678 = 2¹⁰+2⁷+2⁶+2⁴+2¹+2^-1+2^-4+2^-8+2^-10+2^-12+2^-13+2^-15+2^-16

 ≈1234.5677947998046875

s=0

e=10,E=10+16=(26)₁₀=(11010)₂

m=10011010010.1001000101011011,M=00 1101 0010 1001 0001 0101 1011

二进制数：0110 1000 1101 0010 1001 0001 0101 1011

十六进制数：68 D2 91 5B

 

②十进制数：37.61

计算过程：

37.61 = 2⁵+2²+2⁰+2^-1+2^-4+2^-5+2^-6+2^-11+2^-13+2^-17+2^-18+2^-19+2^-20

 ≈37.60999965667724609375

s=0

e=5,E=5+16=(21)₁₀=(10101)₂

m=100101.100111000010100011110,M=00 1011 0011 1000 0101 0001 1110

二进制数：0101 0100 1011 0011 1000 0101 0001 1110

十六进制数：54 B3 85 1E

 

③十进制数：-99.3745

计算过程：

99.3745 = 2⁶+2⁵+2¹+2⁰+2^-2+2^-4+2^-5+2^-6+2^-7+2^-8+2^-9+2^-10+2^-12+2^-13+2^-14+2^-15+2^-16+2^-19+2^-20

    ≈99.37449932098388671875

s=1

e=6,E=6+16=(22)₁₀=(10110)₂

m=1100011.01011111110111110011,M=10 0011 0101 1111 1101 1111 0011

二进制数：1101 1010 0011 0101 1111 1101 1111 0011

十六进制数：DA 35 FD F3

 

④十进制数：-8.875

计算过程：

8.875 = 2³+2^-1+2^-2+2^-3

s=1

e=3,E=3+16=(19)₁₀=(10011)₂

m=1000.11100000000000000000000,M=00 0111 0000 0000 0000 0000 0000

二进制数：1100 1100 0111 0000 0000 0000 0000 0000

十六进制数：CC 70 00 00