NKOJ P9669 & Luogu P3951 小凯的疑惑 Plus

原创已于 2023-03-09 17:28:24 修改 · 220 阅读

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#算法

于 2023-03-08 20:26:23 首次发布

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该问题讨论了当只有互素的两种面值金币时，无法准确支付的商品中最高价格及无法支付的商品种类。通过数学分析，得出最贵商品价值为两面值乘积减去两面值之和，无法支付的物品种类为(a-1)(b-1)/2。

题目

分析

代码

题目

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。

现在小凯想知道：

在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？

共有多少种无法支付的物品？

注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

输入格式

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。

对于 30% 的数据：1 ≤ a,b ≤ 50;

对于 60% 的数据： 1 ≤ a,b ≤ 10,000;

对于 100% 的数据：1 ≤ a,b ≤ 1,000,000,000。

输出格式

输出 2 个整数，分别表示 2 个问题的答案。

分析

问题 1

不妨设需要 $m$ 个 $a$ 元， $n$ 个 $b$ 元

设 $a<b$ ，令 $x=ma+nb$ ，则 $1\leq m\leq b-1$

当 $n\geq 0$ 时， $x$ 可用 $a$ ， $b$ 表示出，不符合题意

当 $n= -1$ 时， $x$ 可取得最大值，此时 $x= ma-b$ ，若 $m$ 取最大值 $b-1$ ， $x$ 最大

此时 $x=$ $(b-1)a-b$ ，化简得 $ab-a-b$

证毕

问题 2（NKOJ加问)

$\because$ $gcd\left ( a,b \right )=1$

$\therefore$ $a$ ， $b$ 必有一奇数

1. 若 $a$ ， $b$ 其中一个为偶数

则有 $\frac{(a-1)(b-2)+(a-1)}{2}$ 或 $\frac{(a-2)(b-1)+(a-2)}{2}$ 种无法支付的物品

$\frac{(a-1)(b-2)+(a-1)}{2}$

$=$ $\frac{(a-1)(b-2+1)}{2}$ $=$ $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$

---------------------------------------------------------------------

$\frac{(a-2)(b-1)+(b-1)}{2}$

$=$ $\frac{(a-2+1)(b-1)}{2}$ $=$ $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$

结果均为 $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$

2. $a$ ， $b$ 均为奇数

则有 $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$ 种无法支付的物品

$\therefore$ 无法支付的物品共 $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$ 种

证毕

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int a,b;
signed main()
{
	cin>>a>>b;
	cout<<a*b-a-b<<" "<<(a-1)*(b-1)/2;
	return 0;
}