Codeforces Round #373 (Div. 2) E. Sasha and Array 线段树维护矩阵

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杂七杂八—矩阵快速幂

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本文介绍了一种解决区间操作问题的方法，利用矩阵快速幂进行区间更新，实现区间内Fibonacci数列元素之和的高效查询。通过线段树结构结合矩阵运算，实现了对区间操作的支持。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给你n个数，两个操作，1是区间增加x，2是查询区间fib(a[i])的和

题解：

回忆一下你怎么做矩阵快速幂fib的，就知道这个更新，其实就是多乘上了一个A^x矩阵。

A = 【0,1;0,0;】这个玩意儿。

然后就可以区间更新呢。

CF官方题解下面有个评论说的很清楚，大家可以看一下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e5+5;
struct node
{
    long long a[2][2];
    void reset()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void one()
    {
        reset();
        a[0][0]=a[1][1]=1;
    }
};
node add(node A,node B)
{
    node k;k.reset();
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            k.a[i][j]=(A.a[i][j]+B.a[i][j])%mod;
    return k;
}
node mul(node A,node B)
{
    node k;memset(k.a,0,sizeof(k.a));
    for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            for(int t=0;t<2;t++)
                k.a[i][j]=(k.a[i][j]+A.a[i][t]*B.a[t][j])%mod;
    return k;
}
node qpow(int p)
{
    node A;
    A.a[0][0]=0,A.a[1][0]=1,A.a[0][1]=1,A.a[1][1]=1;
    node K;
    K.one();
    while(p)
    {
        if(p%2)K=mul(K,A);
        A=mul(A,A);p/=2;
    }
    return K;
}
typedef node SgTreeDataType;
struct treenode
{
  int L , R  , flag;
  SgTreeDataType sum , lazy;
  void update(SgTreeDataType v)
  {
      sum=mul(sum,v);
      lazy=mul(lazy,v);
      flag=1;
  }
};

treenode tree[maxn*4];
int a[maxn];
inline void push_down(int o)
{
    if(tree[o].flag)
    {
        tree[2*o].update(tree[o].lazy) ; tree[2*o+1].update(tree[o].lazy);
        tree[o].flag = 0;tree[o].lazy.one();
    }
}

inline void push_up(int o)
{
    tree[o].sum = add(tree[o*2].sum,tree[o*2+1].sum);
}
node tmp;
inline void build_tree(int L , int R , int o)
{
    tree[o].L = L , tree[o].R = R,tree[o].sum.reset(),tree[o].lazy.one(),tree[o].flag=0;
    if(L==R)
    {
        tree[o].sum=qpow(a[L]);
    }
    if (R > L)
    {
        int mid = (L+R) >> 1;
        build_tree(L,mid,o*2);
        build_tree(mid+1,R,o*2+1);
        push_up(o);
    }
}

inline void update(int QL,int QR,SgTreeDataType v,int o)
{
    int L = tree[o].L , R = tree[o].R;
    if (QL <= L && R <= QR) tree[o].update(v);
    else
    {
        push_down(o);
        int mid = (L+R)>>1;
        if (QL <= mid) update(QL,QR,v,o*2);
        if (QR >  mid) update(QL,QR,v,o*2+1);
        push_up(o);
    }
}

inline SgTreeDataType query(int QL,int QR,int o)
{
    int L = tree[o].L , R = tree[o].R;
    if (QL <= L && R <= QR) return tree[o].sum;
    else
    {
        push_down(o);
        int mid = (L+R)>>1;
        SgTreeDataType res;res.reset();
        if (QL <= mid) res=add(res,query(QL,QR,2*o));
        if (QR > mid) res=add(res,query(QL,QR,2*o+1));
        push_up(o);
        return res;
    }
}

int n,q;

int main()
{
    tmp.a[0][0]=0,tmp.a[1][0]=1,tmp.a[0][1]=1,tmp.a[1][1]=1;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    build_tree(1,n,1);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int op;scanf("%d",&op);
        if(op==2){
            int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%lld\n",query(a,b,1).a[1][0]);
        }
        else{
            int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            update(a,b,qpow(c),1);
        }
    }
    return 0;
}