算法的时间复杂度与空间复杂度

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【思维导图】

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏？

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

int fib(int N)
{
  if(N<3)
  return 1;
  else
  return Fib(N-1)+Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间.在计算
机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度.

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。

所以：
***找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度***

请计算一下Func中++a语句总共执行了多少次
void Func1(int n)
{
int a = 0;
for (int i = 0; i < n ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < n ; ++ j)
 {
 ++a;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * n ; ++ k)
{
 ++a;
}
int m = 10;
while (m--)
{
 ++a;
}

我们很容易就能看出来func的执行次数为
Func()=n^2+2*n+10;

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这
里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

使用大O阶方法规则：

• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数（O（1））

大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最好情况：运行次数最少
平均情况：也就是期望运行次数
最坏情况：运行次数最多的

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况

2.3 常见时间复杂度计算案例

案例1：func1

计算Func的时间复杂度？
void func1(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }

时间复杂度为O(N+M)

案例2：func2

void func2(int n, int m)
{
	int count = 0;
	int i, j;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		for (j = 0; j < m; j++)
		{
			count++;
		}
	}
}

时间复杂度为O(n*m)

案例3：func3

void func3()
{

	int count = 0;
	int i, j;
	for (i = 0; i <100; i++)
	{
		count++;
	}
}

时间复杂度为O(1);

案例4：strchr

// 计算strchr的时间复杂度？
strchr查找字符串中的字符
const char * strchr ( const char * str, int character );
取决于要查找的字符，最坏的情况下就是最后一个才查到那时间复杂度就为

时间复杂度就为O(n)

案例5：BubbleSort

void BubbleSort(int* arr, int n)
{
	int i = 0;
	int exchange = 0;

	for (i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		int j = 0;
		for (j = i; j < n - i - 1; j++)
		{
			if (arr[i > arr[i + 1]])
			{
				int tmp = arr[i];
				arr[i] = arr[i + 1];
				arr[i + 1] = tmp;
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
最坏的情况就是n个数字是无序的
第一个数字进行冒泡排序需要比较n-1次
第二个数字进行冒泡排序需要比较n-2次
第三个数字进行冒泡排序需要比较n-3次…………
也就是n个数字总需要比n^2-n(n+1)/2==n(n-1)/2次
所以在n^2这个量级

所以时间复杂度为O(n^2)

案例6：BinarySearch

int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
 二分查找也叫折半查找，每次查找中间的一个
 而最坏的情况就是缩放到就剩一个数字的时候
 设有查找x次，则2^x=n
 所以x=logn；

所以时间复杂度为O(logn)

案例7：阶乘递归Fac

int Fac(int n)
{
	if (n == 1 || n == 0)
		return 1;
	else
		return Fac(n - 1) * n;
}
到n=1或者n=0时，才能知道是多少
所以最坏的情况就是调用n次

时间复杂度为O(n)

案例8：斐波那契数列递归Fib

int Fib(int n)
{
	if (n < 3)
		return 1;
	return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
注意Fib（n）返回两个函数Fib（n-1）和fib(n-2)
而fib（n-1）又能返回两个函数fib(n-2)和fib(n-3)
也就是一个fib函数能返回调用两个
也就是
fib
fib  fib
fib fib fib fib
…………
…………
fib(1)  fib(2)
所以最后执行的次数是2的n次方。

时间复杂度为O(2^n)

3.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中==临时占用存储空间大小的量度 ==。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

3.1 注意：

函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因
此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.2 案例1:BubbleSort

计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* arr, int n)
{
	int i = 0;
	int exchange = 0;

	for (i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		int j = 0;
		for (j = i; j < n - i - 1; j++)
		{
			if (arr[i > arr[i + 1]])
			{
				int tmp = arr[i];
				arr[i] = arr[i + 1];
				arr[i + 1] = tmp;
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

答案：使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

3.3 案例2：阶乘递归Fac

 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
int Fac(int n)
{
	if (n == 1 || n == 0)
		return 1;
	else
		return Fac(n - 1) * n;
}

答案：递归调用了n次，开辟了n个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间，空间复杂度为O(n);

4.复杂度练习

4.1 消失的数字

消失的数字

方法1：排序+二分查找

方法2：根据异或特点

方法3：利用公式计算

我们就讲解方法2和3
方法2：
我们知道按位异或的特点：相同为0，相异为1
相同的数字异或为0.
所以我们可以将该数组数字全部异或，然后再和0~n数字全部异或，最后得到的结果就是缺的。
因为除了缺的数字，其他数字都是成对出现。

int missingNumber(int* nums, int numsSize){

int ret=0;
int i=0;
for(i=0;i<numsSize;i++)
{
    ret^=nums[i];
}
for(int j=0;j<numsSize+1;j++)
{
    ret^=j;
}
return ret;
}

方法3：
我们可以根据公式计算出缺的数字
我们可以将0~n的数字相加得到一个总数。
再用这个总数减去数组里的数字，最后得到的就是缺少的数字。

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int ret=0;
int i=0;
for(i=0;i<numsSize+1;i++)
{
    ret+=i;
}
int j=0;
for(j=0;j<numsSize;j++)
{
    ret-=nums[j];
}
return ret;
}

4.2 轮转数组

该题与博主写过的《旋转字符串问题-----左旋字符串》本质是一样的。方法也是一样的。
方法1：分治法
我们不会直接右轮k个数字，但我们会右轮一个数字。
只要给右转一个数字这个操作循环k次就可以了
右转的操作可以分成三步：
第一步将最后一个数字保存下来。
第二步将前面数字整体往后覆盖。
第三步将保存的数字放在第一位。

注意轮转是有周期性的，轮转nusSize个数字又变回来了
所以应该这样写k%=numsSize;

void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    k%=numsSize;
    int j = 0;
	for (j = 0; j < k; j++)
	{
		//第一步将最后一个数字拿走
		int tmp = nums[numsSize - 1];
		//第二步将前面的数字整体往后覆盖
		for (int i = numsSize-1; i>0; i--)
		{
			nums[i] = nums[i-1];
		}
		//第三步将保存的最后的数字放在第一位上
		nums[0] = tmp;
	}
}

方法2：三步逆转法：
第一步先逆转前 n-k个数字
第二步再逆转 n-k到n的数字
第三步逆转整体
不过这里要考虑一个k如果大于numsSize时，该怎么办，我们知道当k=numsSize，数组没有变化，当k=numsSize+1时就等于1
所以k相当于是周期出现的
所以应该这样写k%=numsSize;

void reverse(int* left, int* right)
{
	while (left < right)
	{
		int tmp = *left;
		*left = *right;
		*right = tmp;
		left++;
		right--;
	}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
k%=numsSize;
//先逆转左边
reverse(nums,nums+(numsSize-k)-1);
//再逆转右边
reverse(nums+(numsSize-k),nums+numsSize-1);
//再逆转整体
reverse(nums,nums+numsSize-1);
}

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