OpenGL矩阵变换

ModelView Matrix推导

现在考虑Object坐标系中的点$P(P_x,P_y,P_z)$向Camera坐标系进行变换，Object坐标轴分别为xyz，Camera坐标轴分别为uvn

$$P=P_x\vec{x}+P_y\vec{y}+P_z\vec{z}$$
先只考虑旋转变换，Camera坐标系的基向量可表示为：
$$\left\{ \begin{aligned} \vec{u} &=u.x\vec{x}+u.y\vec{y}+u.z\vec{z} \\ \vec{v} &=v.x\vec{x}+v.y\vec{y}+v.z\vec{z} \\ \vec{n} &=n.x\vec{x}+n.y\vec{y}+n.z\vec{z} \end{aligned} \right.$$
即
$$(\vec{u},\vec{v},\vec{n})^t=M(\vec{x},\vec{y},\vec{z})^t$$
其中，
$$M= \begin{pmatrix} u.x & u.y & u.z \\ v.x & v.y & v.z \\ n.x & n.y & n.z \\ \end{pmatrix}$$
可以观察到 $MM^t=I$，所以有
$$M^t(\vec{u},\vec{v},\vec{n})^t=(\vec{x},\vec{y},\vec{z})^t \Rightarrow (\vec{u},\vec{v},\vec{n})M=(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$$
现在再考虑点 $P$
$$\begin{align} P &=(\vec{x},\vec{y},\vec{z})\cdot \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \\ \end{pmatrix} \\ &=(\vec{u},\vec{v},\vec{n})\cdot M \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \\ \end{pmatrix} \end{align}$$
可以看到，齐次坐标下，旋转变换矩阵为
$$\begin{pmatrix} u.x & u.y & u.z & 0 \\ v.x & v.y & v.z & 0 \\ n.x & n.y & n.z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
再考虑平移变换，Camera坐标系原点与Object坐标系原点构成的向量即为平移向量，记为 $\vec{eye}$，向Camera坐标系的坐标轴投影，即得到平移变换矩阵
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\vec{eye}\cdot \vec{u} \\ 0 & 1 & 0 & -\vec{eye}\cdot \vec{v} \\ 0 & 0 & 1 & -\vec{eye}\cdot \vec{n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
所以，最终的ModelView矩阵为：
$$\begin{pmatrix} u.x & u.y & u.z & -\vec{eye}\cdot \vec{u} \\ v.x & v.y & v.z & -\vec{eye}\cdot \vec{v} \\ n.x & n.y & n.z & -\vec{eye}\cdot \vec{n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$