HNU算法设计与分析实验二（安全专业）

原创于 2025-12-06 22:40:09 发布 · 613 阅读

9 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #深度优先 #学习笔记 #经验分享

3-7 汽车加油行驶问题

问题描述

给定一个NxN的方形网格,设其左上角为起点O，坐标为(1,1)，X轴向右为正.y轴向下为正，每个方格边长为1。一辆汽车从起点0出发驶向右下角终点▲，其坐标为(N,N)。在若干网格交叉点处，设置了油库，可供汽车在行驶途中加油。汽车在行驶过程应遵守如下规则:

(1)汽车只能沿网格边行驶，装满油后能行驶K条网格边。出发时汽车已装满油,在起点和终点不设油库

(2)当汽车行驶经过一条网格边时，若其X坐标或坐标减小,则应付费用B，否则免付费用

(3)汽车在行驶过程中遇油库则应加满油并付加油费用A

(4)在需要时可在网格点处增设油库，并付增设油库费用C(不含加油费用A)

(5)N,K,A,B,C均为整数

算法设计

求出汽车从起点到终点的一条付费最小的行驶路线

数据输入

由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行是N,K,A,B,C的值,2<N<100,2<K<10。第2行起是一个NxN的0-1方阵，每行N个值，至N+1行结束。方阵的第i行第广列处的值为1表示在网格交叉点(i,j)处设置了一个油库，为0时表示未设油库。各行相邻的2个数以空格分隔。

结果输出

将找到的最优行驶路线所需的费用即最小费用输出到文件output.txt。文件的第1行中的数是最小费用值。

示例输入输出示例

9 3 2 3 6 12

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

算法实现与思路分析

回溯法（DFS+剪枝）

核心思路

递归探索：递归遍历所有可能的路径，记录每条路径的费用

剪枝优化：若当前费用≥已知最小费用，或当前费用已经不是最优（高于dp值，终止递归）

核心代码

性能分析

时间复杂度：最坏情况下非常大，可超过指数级，尽管我们进行了剪枝，效果依然比较差。

空间复杂度：O(N+K)（递归深度：最短路径是2N-2步（全向右和向下），最长路径（如绕路）不会超过O(N²)；而每次满油，也最多行驶K步，当油耗尽后会重新递归，更新递归深度），考虑dp数组则为O（N²K）

BFS（队列+dp）

核心思路

用（x，y，r）和dp[x][y][r]记录状态和费用

按照先入先出的顺序处理，（相当于对树结构进行层次遍历）

状态转移时通过dp数组排除高费用状态

核心代码

性能分析

时间复杂度：最坏情况下O (N²・K × 2^(N+K))（指数级）。由于队列无序，同一状态可能被多次加入（费用递增），无效操作极多：

网格大小为N×N，油量上限为K，则：

状态总数：最多为N×N×(K+1)（每个坐标N×N，油量0~K）。
每个状态的入队次数：在最坏情况下，每个状态可能被指数级次数入队。例如，若每次到达同一状态的费用都比之前低（但 BFS仍会处理所有历史状态），入队次数可能达到O(2^(N+K))（随路径长度指数增长）。
每次入队的处理成本：每个状态需要尝试 4 个方向的移动（O(1)操作）。

因此，总时间复杂度为：状态总数 × 平均入队次数 × 单次处理成本 ≈ O (N²・K × 2^(N+K))，这是一个指数级复杂度。

空间复杂度：dp数组O（N²K）