[UVA10304] Optimal Binary Search Tree [区间dp]

最新推荐文章于 2023-12-26 12:06:48 发布

原创最新推荐文章于 2023-12-26 12:06:48 发布 · 256 阅读

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本文探讨了最优二叉搜索树(OBST)与Huffman树的区别，重点介绍了如何通过递归方法构建OBST，并使用动态规划解决相关问题。文章详细解释了通过消除后效性将权值乘法转化为累加，从而降低复杂度的方法。

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[ $\frak{Link}$ ]

需要注意的是，OBST和Huffman树是不一样的。Huffman树只考虑叶子。
具体的讨论可以见算导。

题目要求使Σw_i×depth_i最小、
由题目给出的规则，发现给出的序列一定是OBST的前序遍历。
首先选一个根k，然后递归左右子树。
可以把权值乘化为累加，这是一种常用的消除后效性的方法。
得到方程f(i,j) = sum(i,j) - e(k) + max{ f(i,k-1) + f(k+1,j) }
Θ(n³)的复杂度。典型的区间dp。
而且可以四边形不等式优化。
Θ(n²)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cctype>
using namespace std;
int n;
int e[255];
int sum[255];
int f[255][255];
int p[255][255];
int main() {
	while (~scanf("%d", &n)) {
		memset(f, 0, sizeof(f));
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			scanf("%d", &e[i]);
			sum[i] = sum[i-1] + e[i];
			p[i][i] = i;
		}
		for (int j = 1; j < n; ++j) {
			for (int i = 1; i <= n - j; ++i) {
				int t = i + j;
				f[i][t] = 0x3f3f3f3f;
				for (int k = p[i][t-1]; k <= p[i+1][t]; ++k) {
					int tt = f[i][k-1] + f[k+1][t] + sum[t] - sum[i-1] - e[k];
					if (f[i][t] >= tt) f[i][t] = tt, p[i][t] = k;
				}
			}
		}
		printf("%d\n", f[1][n]);
	}
	return 0;
}