[HNOI2010]合唱队

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本文深入解析洛谷P3205题目，通过定义f[l,r]和g[l,r]来表示在最终序列区间序列中，最后一个添加的人是l或r时的方案数。利用动态规划思想，从[l+1,r]和[l,r-1]进行状态转移，最终实现对问题的高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3205

思路

定义f[l,r]表示在最终序列区间序列[l,r]中，最后一个添加的人是l时所得到的方案数，g[l,r]表示在最终序列区间序列[l,r]中，最后一个添加的人是r时所得到的方案数。[l,r]这个区间可以从[l+1,r]和[l,r-1]转移过来，判断最后这个人和上一个人的大小关系，分成两类:除去最后这个人，上一个人添加在区间左边/右边。

得到动态转移方程：f[l,r]:=f[l+1,r] * (a[l]<a[l+1])+g[l+1,r] * (a[l]<a[r]);

g[l,r]:=f[l,r-1] * (a[l]<a[r])+g[l,r-1] * (a[r-1]<a[r]);

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1010,mod=19650827;
int n,A[maxn],f[maxn][maxn][2];
int dfs(int l,int r,int op)
{
    if(l==r) f[l][r][op]=((A[l]<A[l+1]&&op)|(A[l]>A[l-1]&&!op))?1:0;
    if(f[l][r][op]!=-1) return f[l][r][op];
    int ans=0;
    if(op==1)
    {
        if(A[l]<A[r+1]) ans+=dfs(l+1,r,0);
        if(A[r]<A[r+1]) ans+=dfs(l,r-1,1);
    }
    else
    {
        if(A[l]>A[l-1]) ans+=dfs(l+1,r,0);
        if(A[r]>A[l-1]) ans+=dfs(l,r-1,1);
    }
    return f[l][r][op]=ans%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);memset(f,-1,sizeof(f));
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&A[i]);
    printf("%d\n",dfs(1,n,0)); return 0;
}