Python解决“兔群繁殖之谜”问题

问题描述

生物学家正在研究一种特殊的兔子品种的繁殖模式。这种兔子的繁殖遵循以下规律：

• 每对成年兔子每个月会生育一对新的小兔子（一雌一雄）。
• 新生的小兔子需要一个月成长，到第二个月才能开始繁殖。
• 兔子永远不会死亡。

从一对新生的小兔子开始观察。他想知道在第 A 个月末，总共会有多少对兔子。请你帮助编写一个程序，计算在给定的月份 A 时，兔子群体的总对数。

注意：
初始时有 1 对新生小兔子。
第 1 个月末有 1 对兔子：原来那对变成了成年兔子，并开始繁殖。
第 2 个月末有 2 对兔子：原来那 1 对成年兔子，繁殖了 1 对新生的小兔子。
从第 3 个月开始，兔子群体会按照上述规律增长。

要求：
输入
一个整数 A（1 ≤ A ≤ 50），表示月份数。
返回
一个长整数，表示第 A 个月末兔子的总对数。

代码编程

def solution(A:int)->int:
    if A == 1:
        return 1
    elif A == 2:
        return 2

    prev2 = 1
    prev1 = 2

    for i in range(3, A + 1):
        current = prev1 + prev2
        prev2 = prev1
        prev1 = current

    return prev1

if __name__ == '__main__':
    print(solution(A = 1))
    print(solution(A = 5))
    print(solution(A = 15))

输出：
1
8
987

解决思路

这道题目综合运用了动态规划和递推关系算法知识，是一道典型的斐波那契数列问题。

题目描述了一种特殊的兔子繁殖模式，每对成年兔子每个月会生育一对新的小兔子，新生的小兔子需要一个月成长，到第二个月才能开始繁殖。初始时有一对新生小兔子，要求计算第 A 个月末兔子的总对数。通过分析题目给出的规律，可以发现兔子的数量增长符合斐波那契数列的递推关系，即 $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$，其中 $F(n)$ 表示第 n 个月末的兔子总对数。

解题过程：

1. 初始条件：根据题目描述，第 1 个月末有 1 对兔子，第 2 个月末有 2 对兔子。
2. 递推关系：从第 3 个月开始，每个月的兔子总对数等于前一个月的兔子总对数加上前两个月的兔子总对数。
3. 动态规划：使用两个变量 prev2 和 prev1 分别记录前两个月的兔子总对数，通过循环从第 3 个月开始计算到第 A 个月末的兔子总对数。
4. 更新状态：在每次循环中，计算当前月的兔子总对数 current，并更新 prev2 和 prev1 的值，使其分别指向前两个月的兔子总对数。
5. 返回结果：循环结束后，prev1 即为第 A 个月末的兔子总对数。

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(A)$，其中 $A$ 是月份数。代码中使用了一个循环从第 3 个月计算到第 A 个月，循环次数为 $A-2$ 次。
• 空间复杂度：$O(1)$，代码中只使用了常数个额外变量 prev2、prev1 和 current，没有使用额外的数据结构。