BZOJ1270: [BeijingWc2008]雷涛的小猫

最新推荐文章于 2022-05-31 08:42:55 发布

原创最新推荐文章于 2022-05-31 08:42:55 发布 · 530 阅读

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本文解析了一道算法竞赛题目，采用动态规划方法解决了一个涉及树形结构和特定转移方程的问题。通过合理的设计状态转移方程，实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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【Description】

这里写图片描述

N,H都达到了2000，n²m直接暴力肯定是过不了的
发现，其实我们只需要知道答案是多少，并不需要知道它当前是在哪一棵树上。
然后转移实际上就是从当前树的上一层或者当前层的上DELTA层的最大值转移而来
那么我们用f[i],g[i]分别表示第i层的最大值，第j棵树上当前最大值。

g [i] = m a x (g [i], f [m i n (m + 1, j + D E L T A)]) + t [i] [j];

$g[i]=max(g[i],f[min(m+1,j+DELTA)])+t[i][j];$

f [j] = m a x (f [j], g [i]);

$f[j]=max(f[j],g[i]);$
因为是按高度从大到小更新，所以g[i]实际上代表的就是当前树上一层的最大值。
还有一个问题，f[j+DELTA]中的值可能就是在当前树上，然而只能从其他树上跳DELTA步下来，那么为什么还能用这个值更新呢？
这个想了半天，其实还是很显然的。因为当前情况下，g[i]>=f[j+DELTA],当且仅当这棵树第j+1层到第j+DELTA-1层之间都没有柿子时取等。

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 2005
#define INF 1000000001
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,K,ans;
int t[N][N],f[N],g[N];

void Input_Init()
{
    n=read(),m=read(),K=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        int num=read();
        while(num--) t[i][read()]++;
    }
}

void DP()
{
    for(int j=m;j;j--)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            g[i]=max(g[i],f[min(m+1,j+K)])+t[i][j];
            f[j]=max(f[j],g[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",f[1]);
}

int main()
{
    Input_Init();
    DP();
    return 0;
}