BZOJ3996: [TJOI2015]线性代数-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ep1C_HeReT1c/article/details/53782734

本文介绍了一种利用矩阵转置简化问题表达的方法，并将其应用于一个特定的问题中，通过建立最小割模型来求解最优解。具体地，将原问题转化为n件物品的选择问题，每选择一对物品(i, j)可以获得B[i][j]的收益，选择第i件物品需付出代价Ci。

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【分析】

一开始看到转置我就mengbi了。。哎还是太弱了~

设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)
定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素），记A’=B。(有些书记为AT=B，这里T为A的上标）
直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。

原式太丑，知道这个以后，就可以将式子化得好看些：
∑ ∑ Bij×Ai×Aj–∑Ai×Ci

因为A为01矩阵。所以可以转化为：

n件物品，同时选取第i件和第j件可获得B[i][j]的收益，选取第i件物品要付出代价Ci。经典最小割模型~

【建图】

S向每个点Bi,j建边，流量为B[i][j]；
n件物品向T建边，流量为Ci；
对于每个点Bi,j，向物品i和物品j建边，流量INF。

【代码】

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#define N 250505
#define M 1501005
#define INF 1000000000
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pa;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,cnt=1,S,T,ans;
int b[M],p[N],nextedge[M],w[M],cur[N];
int Level[N];

void Add(int x,int y,int z)
{
    cnt++;
    b[cnt]=y;
    nextedge[cnt]=p[x];
    p[x]=cnt;
    w[cnt]=z;
}

void Anode(int x,int y,int z){
    Add(x,y,z);Add(y,x,0);
}

void Input_Init()
{
    n=read();T=n*(n+1)+1;
    static int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        x=read();ans+=x;
        Anode(0,(i-1)*n+j,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x=read();
        Anode(i+n*n,T,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        Anode((i-1)*n+j,i+n*n,INF);
        Anode((i-1)*n+j,j+n*n,INF);
    }
}

bool Bfs()
{
    queue<int>q;
    q.push(S);
    for(int i=0;i<=T;i++) Level[i]=0;
    Level[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int k=q.front();q.pop();
        for(int i=p[k];i;i=nextedge[i])
        {
            int v=b[i],f=w[i];
            if(!Level[v]&&f)
            {
                Level[v]=Level[k]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return Level[T];
}

int Dfs(int x,int maxf)
{
    if(x==T||!maxf) return maxf;
    int rtn=0;
    for(int i=cur[x];i&&maxf>rtn;i=nextedge[i])
    {
        int v=b[i],f=w[i];
        if(Level[v]==Level[x]+1&&f)
        {
            f=Dfs(v,min(maxf-rtn,f));
            w[i]-=f;w[i^1]+=f;
            if(w[i]>0) cur[x]=i;
            rtn+=f;
        }
    }
    if(!rtn) Level[x]=0;
    return rtn;
}

void Dinic()
{
    while(Bfs())
    {
        for(int i=0;i<=T;i++) cur[i]=p[i];
        ans-=Dfs(S,INF);
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    Input_Init();
    Dinic();
    return 0;
}