能量项链

能量项链

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Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。 需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。 例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为： (4⊕1)=10*2*3=60。 这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

Input

有多组测试数据。 对于每组测试数据，输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。 至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。     处理到文件结束。

Output

对于每组测试数据，输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

Sample Input

4 2 3 5 10

Sample Output

710

Source

NOIp2006提高组复赛

解题思路：

 

该题属于区间动态规划，一圈珠子，每个珠子的尾标记都是后一个珠子的头标记。题目中输入的是每个珠子的头标记，那么每个珠子的尾标记则为 num[ （i+1）%n ] ，这样就知道了每个珠子的头标记和尾标记。要求最后释放的总能量最大，长n的区间最后合并成一个点，区间动态规划，先从小的开始，即以区间长度为1开始合并，一直到区间长度为n-1的状态，每个状态再考虑分割合并，求局部最优解。状态转移方程：f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[(k+1)%n][j]+num[i]*num[(k+1)%n]*num[(j+1)%n]) 。所有的状态求完后，最后只要在区间程度为n-1的f[][]里面找最大值就是所求。

f[i][j] 是以a[i]为头标记到以b[j]（及a[j+1]）为尾标记合并释放的最大能量。

代码：

[cpp]  view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4. #include <algorithm>  
5. using namespace std;  
6. const int maxn=105;  
7. int num[maxn];  
8. int f[maxn][maxn];  
9.   
10. int main()  
11. {  
12.     int n;  
13.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
14.     {  
15.         for(int i=0;i<n;i++)  
16.             scanf("%d",&num[i]);  
17.         memset(f,0,sizeof(f));  
18.         for(int l=1;l<n;l++)//区间长度  
19.             for(int i=0;i<n;i++)//左端点  
20.         {  
21.             int j=(l+i)%n;//右端点，因为是圆，所以有右端点小于左端点的情况   
22.             for(int k=i;k!=j;k=(k+1)%n)//分割合并，这里不能写成k<j，因为是圆  
23.             {  
24.                 f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[(k+1)%n][j]+num[i]*num[(k+1)%n]*num[(j+1)%n]);//状态转移方程  
25.             }  
26.         }  
27.         int ans=0;  
28.         for(int i=0;i<n;i++)//因为最后只留下一个点，合并长度为n-1  
29.             if(ans<f[i][(i-1+n)%n])  
30.             ans=f[i][(i-1+n)%n];  
31.         printf("%d\n",ans);  
32.     }  
33.     return 0;  
34. }