硬件 - 正弦波有效值RMS由来

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【全文大纲】 : https://blog.youkuaiyun.com/Engineer_LU/article/details/135149485

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1 . 概要

正弦波RMS有效值的定义 :
交流电一个周期内在电阻R1上产生的热量 = 直流电等同时间内在电阻R1上产生的热量，那这个直流电的电压就是交流电的有效值，其实就是假设产生热量一致的情况下推算出有效值

2 . 计算过程

1. 根据有效值定义，那就先找到热量Q的公式，Q = Pt;
2. 又由于$P=UI，P=\frac{U^2}{R}$
3. 根据积分推算，正弦波 $P_{max}$ 的一半恰好等于矩形 $P$ 的面积，$P_{max}$指功率峰值
4. 根据第三点，那么可以列出 $\frac{1}{2}\frac{V_{max}^2}{R}=\frac{V_{rms}^2}{R}$, $V_{rms}=\frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$

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3 . 积分推算

3.1. sin函数基于功率等效的积分计算

1. $Q=I^{2}t$

2. $Q={\int }_0^T(I_{max}sin\frac{2\pi }{T}t{)}^{2}Rdt$

3. $Q=I_{max}^{2}R{\int }_0^{T}si{n}^2(\frac{2\pi }{T}t)dt$

4. $Q=I_{max}^{2}R{\int }_0^T\frac{1-cos\frac{4\pi }{T}t}{2}dt$ : 倍角公式换算

5. $Q=I_{max}^{2}R{\int }_0^T\frac{1}{2}dt$

3.2 sin函数半周期平均值的积分计算

1. $v(t)=V_{m}sin(\omega t)$

2. $V_{avg}=\frac{1}{T/2}{\int }_0^{T/2}{V}_{m}sin(\omega t)dt$

3. $V_{avg}=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{T/2}{V}_{m}sin(\theta )d\theta$

4. $V_{avg}=\frac{V_m}{\pi }[-cos\theta {]}_0^{\pi }$

5. $V_{avg}=\frac{V_m}{\pi }(-cos\pi +cos0)$

6. $V_{avg}=\frac{2V_m}{\pi }\approx 0.637V_m$

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4 . 疑问解析

有个思维影响着我们，总觉得正弦波半个周期的平均值应该就是有效值，显然这是错的，因为有效值其实是看热量，而热量是看功率，而功率是看电压*电流 $UI$，或者$I^{2}R$，而正弦波的电流对于阻性负载也是正弦变化的，而正弦波半周期的电压平均值是 $\frac{2}{\pi }{V}_{max}\approx 0.637V_{max}$, 很显然正弦波半周期的电压平均值没有考虑与电流相乘，因此是电压平均值，而不是热量有效值，然后为什么正弦波整流后直流脉动输出是有效值的0.9倍，因为 $0.637V_{max}/\frac{V_{max}}{\sqrt{2}}$ ，如果按国内市电峰值311V来算，其实就是280V / 311V ≈ 0.9，因此整流后脉动直流≈有效值的0.9倍就是这么来的

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