Matlab学习笔记（五）

复习

一些问题

1.使用时ode45等数值命令求解常微分方程应该注意哪些问题？
[t,x]=ode45(‘f’, [t0,tf], x0, options)

function y=f(t,x)
……

t：自变量值
x：函数值
ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬格尔算法
‘f’：由待解方程写成的m-文件名
ts：ts[t0, tf], 为自变量的初值和终值
x0：函数的初值
options：用于设定误差限（缺省时设定的相对误差为10^-3，绝对误差10^-6）

2.代数方程（组）求根命令有哪些？使用时应该注意哪些问题？
solve、fzero、fsolve
solve不起作用时，选择fsolve，fzero慎用，使用条件比较苛刻

3.请解释以下三个命令的含义:
poly2sym(c), polyval(p,a), root(c)
poly2sym(c)：把系数数组转换为符号多项式
polyval(p,a)：求多项式函数p(x)在点a的值
roots(c)：多项式函数p(x)=0时所有根（复数根）

多项式函数在点a的值：polyval(p, a)

例：$p(x)=3x^4-7x^3+2x^2+x+1$，计算p(2.5)和p(3)的值

c = [3, -7, 2, 1, 1]; xi = [2.5, 3];
y1 = polyval(c, xi)
% 结果
y1 = 23.8125   76.0000

注意：

% 可以这样写
syms x
f = 3*x^4 - 7*x^3 + 2*x^2 + x + 1;
c = sym2poly(f) % 相对于poly2sym

多项式求根：roots

例：求方程 $2x^3+x^2+4x+5=0$ 的所有根

c = [2 1 4 5]
roots(c) % 可以直接这样写 roots([2 1 4 5])
% 结果
ans = 0.2500 + 1.5612i
      0.2500 - 1.5612i
     -1.0000 + 0.0000i

注意：MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量
思考：已知多项式的根，如何求解多项式？

pp = poly(ans)
% 结果
pp = 1.0000    0.5000    2.0000    2.5000

主要内容（大概）

目录

多项式的四则运算

有理式的分解与合并（难点）

矩阵的生成与结构变换、矩阵的基本运算

多项式的四则运算 ↶

1.多项式的和与差：poly_add

c = poly_add(a, b); % 求两个多项式的和
c = poly_add(a, -b); % 两个多项式的差

注意：多项式的和差也可以利用向量加法计算。当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。
例：

a =[1  6  20  50  75  84  64];  b=[2 6 12 20];
c = a + [0 0 0 b]
% 结果
c = 1     6    20    52    81    96    84

2.两个多项式的乘积：conv

m阶多项式与n阶多项式的乘积是m+n阶的多项式
a=conv(c,b);%多项式相乘，返回系数向量

例：

a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18];
c=conv(a,b)
% 结果
c = 6  -195   432  -453   9  -792  -162

关于卷积（conv）的说明

将上述的a和b如上图放置，就可以计算出第一个值 23 = 6，就是c中6的答案来源

下面这一行，向左平移一格，计算方式：-53 + 2*-90 = -195，也就是第二个值

相同的操作，计算方式：63 + (-5)(-90) + 2*(-18) = 432

以此类推，最后一位，就是 9*(-18) = -162

3.两个多项式的商：deconv

[q, r]=deconv(b,c);%两个多项式相除，
% 返回商的系数vector(q)和余数系数vector(r)

注意: 从向量运算的角度看, 反卷积deconv是卷积conv的逆运算. 上式等价于b=conv(q,c)+r, 其中r可以看成误差。

% 卷积
a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18];
c=conv(a,b)
% 结果
c = 6  -195   432  -453   9  -792  -162
% 反卷积
[q,r]=deconv(c,b)
% 结果
q = 2    -5     6    -1     9
r = 0     0     0     0     0     0     0

有理式的分解与合并（难点） ↶

collect(f); %对符号多项式f进行合并同类项
expand(f)；%对符号多项式f进行展开
horner(f)；%对符号多项式f进行嵌套分解
factor(f)；%对符号多项式f进行因式分解

[a,b,r]=residue(p,q); %返回将p(x)/q(x)分解为最简式之和
[p,q]=residue(a,b,r); %返回将简单分式之和合并为有理分式

format rat; % 写出分数的精确值的形式

1.有理函数分解预备知识

有理函数：两个多项式的商表示的函数
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{x-1}+...+a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+...+b_m}$$
（1）n<m，真分式 （2）n >= m，假分式

有理函数的分解步骤：
有理函数 = 多项式 + 【真分式 ----> 分解为若干最简分式之和】

例：$\frac{x^3+x+1}{x^2+1}=x+x^2+1$