一些最小生成树的性质

   1、换掉一条边并且保证结果是树记为一次操作，树A和B是无向图的两个生成树，则A可以通过若干次操作变成B。 

证：把树看作边的集合，如果B中有一条A没有的边，则把这条边加到A上，A产生一个圈中至少有一条是B中没有的边，把这条边删掉，则A仍然是生成树，也就是说，我们可以随便加一条B有而A没有的边，总可以找到一条合适的边删掉。A,B集合相同的边多了一条，重复这个过程直到A=B

它告诉我们任何两棵生成树都可以通过不断换边得到。（重要的是换边的过程中始终保持是树。）

2、如果无向图的边权都不相同，则最小生成树是唯一的。

但是其逆命题不成立。

即如果无向图的最小生成树唯一，则无向图的边权是可能有相同的。例子，比如原图本身就是一棵树，并且有两条边的边权相等。

3、A,B是同一个无向连通图的两棵不同的最小生成树，则A可以通过若干次（1）中定义的换边操作，并且保证每次结果仍然是最小生成树，最终转换成B。

 

 4、对于一个连通无向图的生成树，只考虑它的边权，形成的有序边权列表中，最小生成树是有序边权列表字典序最小的。

 5、一棵树不是最小生成树，则一定存在一个（1）中描述的操作，使得操作之后，它的总权值减小。

 

6、如果一棵生成树，任何边都在某棵最小生成树上，则它不一定是最小生成树。

反例：考虑一个长为2，宽为1的矩形。构造一个无向图，节点就是矩形顶点，边就是矩形的边，边权就是矩形边长。显然，原图有两棵最小生成树（“两宽与一长”），所有边都在某棵最小生成树上，但是有两棵生成树不是最小生成树（“两长与一宽”）。