第三章：3.8 周期信号的傅里叶变换

傅里叶级数分解

这是得到周期信号的一般方法，我们要想得到离散频谱信号可以使用这样的方法

如图所示，将$F_n = \frac{1}{T}F_0(w)$带入箭头所示的式子，2π/T就变成了w，这样就会得到右边的式子。因为单位周期信号是间断的，所以很容易就得到了离散信号。

卷积

也可以用卷积的方式加以描述

第一个公式可以看成是一个信号与一个周期冲击序列信号卷积的结果。他们卷积之后周期冲击序列信号就进行了周期延拓。任何一个信号都可以看成是它单个周期内的信号经过周期延拓而成。数学上可以表示为单个周期信号与周期脉冲序列卷积的结果。

我们接下来先从几个简单的傅里叶变换开始

正弦、余弦、复指数信号傅里叶变换

一般周期信号傅里叶变换

我们举一个例子，其中公式有的地方用到了周期信号傅里叶分解的相关知识。如果忘记可以从前面找一下相关的公式

我们看到，对于单位脉冲信号的傅里叶变换以及但为脉冲信号经过周期延拓之后的傅里叶变换，发现。傅里叶变换变得离散了。下面我们具体介绍一下周期延拓的知识

信号的周期延拓

信号在时域进行周期延拓它形成了周期信号，对应的信号频谱他发生了离散化。对于信号的周期延拓可以使用信号与周期冲击序列卷积来描述。于是对于信号的频谱分析就可以借助于信号的傅里叶变换的卷积特性进行分析。于是时域的卷积在频域就成了相乘的关系。乘积后的信号实际上就是对原来的信号进行了离散化。

最后我们举两个例子