[UOJ171][WC2016]挑战NPC(一般图最大匹配)_wc2016挑战npc 数据-优快云博客

本文介绍了一个基于图的最大匹配问题，通过将球放入筐子的问题转化为一般图的最大匹配问题，给出了一种多项式时间复杂度的解决方案。通过拆点和构造边的方法，最终实现了求解半空筐子数量的最大化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

#171. 【WC2016】挑战NPC

小 N 最近在研究 NP 完全问题，小 O 看小 N 研究得热火朝天，便给他出了一道这样的题目：

有 $n$ 个球，用整数 $1$ 到 $n$ 编号。还有 $m$ 个筐子，用整数 $1$ 到 $m$ 编号。

每个筐子最多能装 3 个球。

每个球只能放进特定的筐子中。具体有 $e$ 个条件，第 $i$ 个条件用两个整数 $v_i$ 和 $u_i$ 描述，表示编号为 $v_i$ 的球可以放进编号为 $u_i$ 的筐子中。

每个球都必须放进一个筐子中。如果一个筐子内有不超过 $1$ 个球，那么我们称这样的筐子为半空的。

求半空的筐子最多有多少个，以及在最优方案中，每个球分别放在哪个筐子中。

小 N 看到题目后瞬间没了思路，站在旁边看热闹的小 I 嘿嘿一笑：“水题！”

然后三言两语道出了一个多项式算法。

小 N 瞬间就惊呆了，三秒钟后他回过神来一拍桌子：

“不对！这个问题显然是 NP 完全问题，你算法肯定有错！”

小 I 浅笑：“所以，等我领图灵奖吧!”

小 O 只会出题不会做题，所以找到了你——请你对这个问题进行探究，并写一个程序解决此题。

输入格式

第一行包含 $1$ 个正整数 $T$ ，表示有 $T$ 组数据。

对于每组数据，第一行包含 $3$ 个正整数 $n, m, e$ ，表示球的个数，筐子的个数和条件的个数。

接下来 $e$ 行,每行包含 $2$ 个整数 $v_i, u_i$ ，表示编号为 $v_i$ 的球可以放进编号为 $u_i$ 的筐子。

输出格式

对于每组数据，先输出一行，包含一个整数，表示半空的筐子最多有多少个。

然后再输出一行，包含 $n$ 个整数 $p_1, p_2, \dots , p_n$ ，相邻整数之间用空格隔开，表示一种最优解。其中 $p_i$ 表示编号为 $i$ 的球放进了编号为 $p_i$ 的筐子。如果有多种最优解,可以输出其中任何一种。

样例一

input

output

2
1 2 3 3

样例二

见样例数据下载。

限制与约定

对于所有数据， $T \leq 5$ ， $1 \leq n \leq 3m$ 。保证 $1 \leq v_i \leq n, 1 \leq u_i \leq m$ ，且不会出现重复的条件。

保证至少有一种合法方案,使得每个球都放进了筐子,且每个筐子内球的个数不超过 $3$ 。

各测试点满足以下约定:

测试点编号

m

$m$

约定
1	$\leq 10$	$n \leq 20$ ， $e \leq 25$
2	$\leq 10$	$n \leq 20$ ， $e \leq 25$
3	$\leq 100$	$e = nm$
4		存在方案使得有 $m$ 个半空的筐子
5		不存在有半空的筐子的方案
6		不存在有半空的筐子的方案
7		无
8
9
10

时间限制： $1\texttt{s}$

空间限制： $256\texttt{MB}$

思路&&分析：

这题其实首先我们先仔细想想，可以发现他是一个一般图最大匹配【不要想当然以为是二分图】。对于每个盒子，我们把它拆点拆成3个点，然后把这三个点两两连边（其实任选两个连一条边也行），然后对于每个条件，我们将这个球与属于这个框的三个点都连上边，之后用带花树跑个一般图最大匹配，答案就是 $Maxmatch-n$ （为球的个数）。（至于准确的证明，我还不会QAQ..）

Code

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool Finish_read;
template<class T>inline void read(T &x){Finish_read=0;x=0;int f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;if(ch==EOF)return;ch=getchar();}while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;Finish_read=1;}
template<class T>inline void print(T x){if(x/10!=0)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>inline void writeln(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);putchar('\n');}
template<class T>inline void write(T x){if(x<0)putchar('-');x=abs(x);print(x);}
/*================Header Template==============*/
const int maxn=666,maxm=444444;
int n,m,que[maxm],ql,qr,pre[maxn],tim=0,h[maxn],tot=0,match[maxn],f[maxn],tp[maxn],tic[maxn],ecnt,T,res;
bool edge[maxn][maxn];
struct Edge {
    int v,nxt;
}e[maxm];
inline int id(int x,int y) {
    return n+(x-1)*3+y;
}
inline int find(int x) {
    return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]);
}
inline void add(int u,int v) {
    e[++tot]=(Edge){v,h[u]};
    h[u]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y) {
    add(x,y);
    add(y,x);
}
inline int lca(int x,int y) {
    for(++tim;;swap(x,y))
        if(x) {
            x=find(x);
            if(tic[x]==tim)
                return x;
            tic[x]=tim,x=pre[match[x]];
        }
}
inline void blossom(int x,int y,int p) {
    while(find(x)!=p) {
        pre[x]=y;
        y=match[x];
        if(tp[y]==2) {
            tp[y]=1;
            que[++qr]=y;
        }
        if(find(x)==x)
            f[x]=p;
        if(find(y)==y)
            f[y]=p;
        x=pre[y];
    }
}
inline bool aug(int s) {
    for(int i=1;i<=T;++i)
        f[i]=i;
    memset(tp,0,sizeof tp);
    memset(pre,0,sizeof pre);
    tp[que[ql=qr=1]=s]=1;
    while(ql<=qr) {
        int x=que[ql++];
        for(int i=h[x],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v) {
//          cout<<x<<" -> "<<v<<endl;
            if(find(v)==find(x)||tp[v]==2)
                continue; 
            if(!tp[v]) {
                tp[v]=2;
                pre[v]=x;
                if(!match[v]) {
                    for(int now=v,lst,tmp;now;now=lst) {
                        lst=match[tmp=pre[now]];
                        match[now]=tmp,match[tmp]=now;
                    }
                    return true;
                } 
                tp[match[v]]=1;
                que[++qr]=match[v];
            }
            else if(tp[v]==1) {
                int l=lca(x,v);
                blossom(x,v,l);
                blossom(v,x,l);
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    int Case;
    read(Case);
    while(Case--) {
        tot=tim=0;
        memset(h,0,sizeof h);
        memset(match,0,sizeof match);
        memset(tic,0,sizeof tic);
        read(n);read(m);read(ecnt);
        for(int i=1;i<=m;i++) {
//          cout<<id(i,1)<<" "<<id(i,2)<<" "<<id(i,3)<<endl;
            addedge(id(i,1),id(i,2));
            addedge(id(i,1),id(i,3));
            addedge(id(i,2),id(i,3));
        }
        for(int i=1,x,y;i<=ecnt;++i) {
            read(x),read(y);
//          cout<<x<<" "<<id(y,1)<<" "<<id(y,2)<<" "<<id(y,3)<<endl;
            addedge(id(y,1),x);
            addedge(id(y,2),x);
            addedge(id(y,3),x);
        }
        T=n+m*3,res=0;
        for(int i=1;i<=T;i++)
            res+=(!match[i]&&aug(i));
//      for(int i=1;i<=T;i++)
//          cout<<match[i]<<" ";
//      cout<<endl;
        printf("%d\n",res-n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",(match[i]-n-1)/3+1);
        puts("");
    }
    return 0;
}