Sicily 2012. King

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本文探讨了如何通过二步深搜找出小孩王的过程，并利用反证法证明了小孩王的存在性，最后提供了代码实现。

明确最重要的一点：每个小孩间都存在胜负关系，非胜则负。而小孩王的条件是该小孩不惧怕任何其他的小孩，即其打败的小孩（直接打败）加上他打败的小孩打败了的小孩（间接打败）之和等于其他小孩的总数。
就以上而言，题目是比较简单的，只需要对每个孩子都进行二步深搜即可，但这样会超时。关键在于找到个中的规律。
如果至少存在一个小孩王，可以假设出度（直接打败其他小孩的人数）最大的那个小孩是小孩王之一。对于这个假设，用反证法证明：假设出度最大的那个（用A表示）不是小孩王，就表示A直接打败了的n个人中，没有人能打败B，而B又打败了A，这样A就惧怕B，故A不是小孩王。上面的论述中，明显可以发现B打败了A打败了的n个人并且打败了A，那么B的出度就是n+1，比A的n大，则A不是出度最大的那个，与前提矛盾，可知假设成立。所以，只要寻找这个小孩并输出即可。
如果不存在小孩王，仍然按照上述假设，若A不是小孩王，则存在出度比A大的B，若B还不是，则存在出度比B还大的C，如果这种情况一直存在，则依次类推直至最后一个小孩，若此小孩不是小孩王，则存在出度比这个小孩还大的，但由上面的推断可知最后一个小孩的出度是最大的，不可能存在出度还要大的情况；故此小孩一定是是小孩王，这样就与题设矛盾了。以此反证，可知必定存在至少一个小孩王。
综上而言，直接找出出度最大的那个小孩就是最后的答案。

Run Time: 0.04sec

Run Memory: 304KB

Code length: 593Bytes

SubmitTime: 2011-12-07 23:57:07

// Problem#: 2012
// Submission#: 1049697
// The source code is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License
// URI: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
// All Copyright reserved by Informatic Lab of Sun Yat-sen University
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int i, j, k;
    char s[ 1000 ];
    int out, max, king;

    while ( scanf( "%d", &n ) != EOF ) {
        king = 0;
        max = 0;
        for ( i = 0; i < n; i++ ) {
            out = 0;
            scanf( "%s", s );
            for ( j = 0; j < n; j++ ) {
                if ( s[ j ] == '1' )
                    out++;
            }
            if ( out > max ) {
                king = i;
                max = out;
            }
        }
        printf( "%d\n", king + 1 );
    }

    return 0;

}