USACO：2.2.2 Subset Sums 集合和

最新推荐文章于 2024-03-19 19:37:15 发布

原创最新推荐文章于 2024-03-19 19:37:15 发布 · 1.5k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#USACO #题解 #子集和

USACO编程题解专栏收录该内容

22 篇文章

订阅专栏

本文介绍USACO竞赛题目SubsetSums的解决方法，通过动态规划算法找出从1到N的整数集合能否划分为两个子集，使得每个子集的元素之和相等。当总和为偶数时，利用01背包问题的思想计算划分方案的数量。

USACO：2.2.2 Subset Sums 集合和

一、题目描述

★Subset Sums 集合
对于从1 到N (1 <= N <= 39)的连续整集合合,能划分成两个子集合,且保证每个集合的数字和是相等的.
举个例子,如果N=3,对于{1,2,3}能划分成两个子集合,他们每个的所有数字和是相等的:
{3} and {1,2}
26
这是唯一一种分发（交换集合位置被认为是同一种划分方案,因此不会增加划分方案总数）
如果N=7,有四种方法能划分集合{1,2,3,4,5,6,7},每一种分发的子集合各数字和是相等的:
{1,6,7} and {2,3,4,5} {注 1+6+7=2+3+4+5}
{2,5,7} and {1,3,4,6}
{3,4,7} and {1,2,5,6}
{1,2,4,7} and {3,5,6}
给出N,你的程序应该输出划分方案总数,如果不存在这样的划分方案,则输出0.程序不能预存结果
直接输出.

PROGRAM NAME: subset
INPUT FORMAT
输入文件只有一行,且只有一个整数N
SAMPLE INPUT (file subset.in)
7
OUTPUT FORMAT
输出划分方案总数,如果不存在则输出0.
SAMPLE OUTPUT (file subset.out)
4

二、解题思路

n个数的总和为tot:=n*(n+1)/2,当且仅当tot为偶数的时候才有解，tot为奇数时直接输出0并且退出程序；但是这样做了也还是会超时。所以要进行优化处理。

我们可以采用动态规划设分成的子集为set1，set2，tot=(n*(n+1)/2)/2。设f[i，j]表示取前i个数，使set1总数和为j的方案数.第i个数的值又恰好为i,根据是否取第i个数就有状态转移方程:

f[i,j]=f[i-1,j] j<i (和j中不取数i,因为数i已经大于j，不可能包含i)

f[i,j]=f[i-1,j]+f[i-1,j-i] j>=i （取i时和为j的总方案数，等于不取i时前i-1个数中的总方案数+取i时的方案数），注：取i时的方案数=不取i即取前i-1个数和为j-i的方案数。

那么,最后结果为f[n,tot] dp步骤为：

f[1,1]:=1;

f[1,0]:=1;

for i:=2 to n do

for j:=0 to sum do

if j<i then f[i,j]:=f[i-1,j];

else f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i-1,j-i]

则最后的结果为f[n,tot]/2.

其实题目可以看成01背包求方案数：将一个集合划分成两个“元素总和相等”的集合，设原集合的元素总和为tot，则划分后的集合的元素综合都为tot/2。那么我们可以把tot/2看成背包的容量，原集合中的数字看为物品的重量及价值（这里价值维度可以淡化，就像装箱问题）。则原问题转化为“从原集合中选出n个物品，使这n个物品恰好放满容量为tot/2的背包的方案总数”。（官网的解答易于理解，但原理是一样的）

程序源代码：

//动态规划，看成01背包问题
#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
//“从原集合中选出n个物品，使这n个物品恰好放满容量为sum/2的背包的方案总数”。
int cnt;
int N;
int sum,i_sum;
int data[39+5];
unsigned int  F[39+5][(1+39)*39/(2*2)+5];

int main(){
	freopen("subset.in","r",stdin);
//	freopen("subset.out","w",stdout);
	cin>>N;
	int i,v_sum;
	sum=(1+N)*N/2;
    if (sum%2==1){
		cout<<0<<endl;
		return 0;
    }
    else{
		//F[0; 0...V ]= 0
		F[1][1]=1;
		F[1][0]=1;
		for(i=2;i<=N;i++){
			//F[i,j]表示取前i个数，使集合总元素数和为j的方案数
			for(v_sum=0;v_sum<=sum/2;v_sum++){
			if(v_sum<i)
				F[i][v_sum]=F[i-1][v_sum];//集合总和v_sum小于i,不能将数i加入集合;F[i][v_sum]为可行方案数
			else//计算前i个数集合中所有和大于i的方案数
				F[i][v_sum]=F[i-1][v_sum]+F[i-1][v_sum-i];}	
		}
		cout<<F[N][sum/2]/2<<endl;
	}
   return 0;
}

由于自身是初学者，编程能力有限，未达到专业程序员的水平，可能误导大家，请大家甄读；文字编辑也一般，文中可能会有措辞不当。博文中的错误和不足敬请读者批评指正。

部分引自 http://pingce.ayyz.cn:9000/usaco/20110129214306/subset_001.html