HDU 5514 Frogs

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#容斥原理 #set

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本文探讨了一道经典的青蛙跳石子问题，通过分析不同青蛙跳跃的规律，并使用容斥原理进行优化，最终实现了高效的算法解决方案。

题意

有一群青蛙，一开始都在0点，有一堆圈石子，编号从0~m-1的。
青蛙只能顺时针跳，每个青蛙可以一次跳a[i]格，然后所有青蛙都这样一直跳下去，这些青蛙踩过的石子的编号和是多少？

思考

读了题，以为是暴力set过的，想到了之前set判重，Floyd判圈等等，结果遇到了MLE（第一次遇到），吓得我怀疑了set。

// MLE 2016-10-23

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<set>
using namespace std;

long long step[10010];

int main()
{
    int kas, cnt = 1;
    scanf("%d",&kas);
    while(kas--)
    {   set<long long> id;
        long long n, m;
        memset(step, 0, sizeof(step));

        scanf("%ld%ld",&n, &m);
        for(int i = 0; i<n; i++)
            scanf("%ld",&step[i]);
        for(int i = 0; i<n; i++)
        {   long long ini = step[i]%m;
            set<long long> temp;
            while(!temp.count(ini))
            {   temp.insert(ini);
               // printf("   %ld marked\n",ini);
                ini = (ini+step[i])%m;
            }
            set<long long>::iterator temp_it;
            for(temp_it = temp.begin(); temp_it!=temp.end(); temp_it++)
                id.insert(*temp_it);
        }
        //cal sum of step[];
        set<long long>::iterator it;
        long long sum = 0;
        for(it = id.begin(); it!=id.end(); it++)
            sum+=*it;

        printf("Case#%d: %ld\n",cnt++, sum);
    }
    return 0;
}

然后果断搜索题解，看到了容斥定理，才了解这道题的类型，然后找到优化方法：

对于第i只青蛙，他跳过的格子，一定是k*gcd(a[i],m)这种的
如果m小一点，我们就可以直接暴力了
当时m太大了，我们就分解m的因数之后，对于每个因数做暴力就好了
每个因数T的贡献是 for(int i=1;i<=M/T;i++)ans += M*i;
第i只青蛙只能走到gcd(ai, m)的位置，我们就可以把m的因子提取出来，然后对青蛙能走到的因子位置打标记。（优化的关键）青蛙能走到vis[i]因子位置就把vis[i]标记为1，然后num[i]表示m的第i个因子泪加的次数。如果vis[i]!=num[i]的话，就更新num。因子的个数大概是log2(m)，所以时间复杂度大概为O(log2(m)2)。

当然也可以用set，但直接set不行。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 LL;
const int maxn = 100010;

int p[maxn], vis[maxn], num[maxn];
int gcd (int a, int b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b, a%b);
}

int main ()
{
    int T;
    scanf ("%d", &T);
    for (int t=1; t<=T; t++)
    {
        int n, m, cnt = 0;
        scanf ("%d %d", &n, &m);
        for (int i=1; i<=sqrt(m); i++)
        {
            if (m % i == 0)
            {
                p[cnt ++] = i;
                if (i * i != m)
                    p[cnt ++] = m / i;
            }
        }
        sort (p, p+cnt);
        int u;
        memset (vis, 0, sizeof(vis));
        memset (num, 0, sizeof(num));
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf ("%d", &u);
            int temp = gcd (u, m);
            for (int j=0; j<cnt; j++)
            {
                if (p[j] % temp == 0)
                    vis[j] = 1;
            }
        }
        vis[cnt-1] = 0;
        LL ans = 0;
        for (int i=0; i<cnt; i++)
        {
            if (vis[i] != num[i])
            {
                LL temp = m / p[i];
                ans += temp * (temp - 1) / 2 * p[i] * (vis[i] - num[i]);
                temp = vis[i] - num[i];
                for (int j=i; j<cnt; j++)
                    if (p[j] % p[i] == 0)
                    num[j] += temp;
            }
        }
        printf ("Case #%d: %I64d\n", t, ans);
    }
    return 0;
}