本文探讨了一个关于连通图的递推方程及其与延迟微分方程的关系。通过G(x)函数及其导数形式，揭示了图论在数学模型中的实际应用，涉及F(x)的运算和转换。
今有 uoj 群友提及这样一个连通图的方程：
n≥2,fn=∑k(n−2k−1)fkfn−k(2k−1) n\ge 2, \quad f_n = \sum_k \binom{n-2}{k-1} f_kf_{n-k} (2^k-1) n≥2,fn=k∑(k−1n−2)fkfn−k(2k−1)
其组合意义是考虑删去 222 号点后，111 号点所在连通块大小为 kkk，再考虑去掉这个连通块之后剩下的连通块必然只有 222 号点向其连边。
考虑图的方程 G(x)=∑n≥02(n2)xnn!\displaystyle G(x) = \sum_{n\ge 0} 2^{\binom n 2} \frac{x^n}{n!}G(x)=n≥0∑2(2n)n!xn，注意到有
G′(x)=∑n≥02(n+12)xnn!=∑n≥02(n2)(2x)nn!=G(2x) \begin{aligned} G'(x)& = \sum_{n\ge 0} 2^{\binom {n+1} 2} \frac{x^n}{n!}\\ &=\sum_{n\ge 0} 2^{\binom n 2} \frac{(2x)^n}{n!}\\ &= G(2x) \end{aligned} G′(x)=n≥0∑2(2n+1)n!xn=n≥0∑2(2n)n!(2x)n=G(2x)
这种 G′=G(2x)G'=G(2x)G′=G(2x) 的形式，问了问懂行的人表示它属于延迟微分方程的范畴，暂不清楚能否有所应用，但是我们接下来需要熟用这一等式来完成推导。根据 F=lnGF = \ln GF=lnG，我们开始进行运算：
G=eFG′=eFF′=GF′G′′=G′F′+GF′′=GF′2+GF′′F′′=G′′G−F′2=2G′(2x)G−F′2=2G(2x)F′(2x)G−F′2=2G′F′(2x)G−F′2=F′(2F′(2x)−F′) \begin{aligned} G &= \mathrm{e}^F\\ G' &= \mathrm{e}^F F'\\ &= G F'\\ G'' &= G'F'+GF''\\ &= GF'^2+GF''\\ F'' &= \frac{G''}G - F'^2\\ &= \frac{2G'(2x)}G - F'^2\\ &= \frac {2G(2x)F'(2x)}G - F'^2\\ &= \frac{2G'F'(2x)}G - F'^2\\ &= F'(2F'(2x)-F') \end{aligned} GG′G′′F′′=eF=eFF′=GF′=G′F′+GF′′=GF′2+GF′′=GG′′−F′2=G2G′(2x)−F′2=G2G(2x)F′(2x)−F′2=G2G′F′(2x)−F′2=F′(2F′(2x)−F′)
不难验证最终式子与对应的递推式等价。
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