机器学习——线性回归（数学原理推导+Python代码实现+模型评估+实验分析）

（一）线性回归原理推导

线性回归：用一条直线较为精确地描述数据之间的关系。这样当出现新的数据的时候，就能够预测出一个简单的值。

1.1 模型描述

线性回归按变量数量的多少可以分为：一元线性回归（简单线性回归）和多元线性回归。

一元线性回归（有一个自变量），模型可以表示如下：
$$y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+\epsilon$$

$x$：自变量（数据）
$y$：因变量（标签）
${\theta }_0$：截距
${\theta }_1$：变量回归系数
$\epsilon$: 误差项的随机变量

${\theta }_0+{\theta }_{1}x$：反映了由于x的变化而引起的y的线性变化。
$\epsilon$：反映了除了x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响。也可以说是真实值和预测值之间的误差。希望这个误差项越小越好，并且接近于0。

误差$\epsilon$是独立并且具有相同的分布，服从均值为0，方差为${\theta }^2$的高斯分布。(没有数据可以100%服从这个分布，但不代表这个事情做不了，数学原理是推导理论的支撑，实际上，数据来源于生活，服务于生活，就足够了，没有绝对正确的东西，我们得到的是一个近似的，最优的结果)

多元线性回归（有多个自变量），模型可以表示如下：
$$y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_k{x}_k+\epsilon$$

$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_k{x}_k$：拟合的平面（如图，平面方程估计的结果就是预测值，红色的点是真实值）

${\theta }_0$：偏置项（在训练过程中，使模型能够更精准做的微调）
${\theta }_1，{\theta }_2...$：权重项（核心影响因素）

注意：数据x是一个矩阵，行代表样本，列代表特征，所有对数据的操作，都是对矩阵的操作。而${\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_k{x}_k$多了${\theta }_0$，由于${\theta }_0$的存在，没办法转换为矩阵，如果找到$x_0$和${\theta }_0$组合在一起就可以转换为矩阵形式，而$x_1$，$x_2$都是实际存在的特征，可以创建新的一列$x_0$，值全为1，因为1乘以一个数等于它本身。

现在就可以转换为一种矩阵形式。整合：$$h_{\theta }(x)=\sum _{i=0}^n{\theta }_i{x}_i={\theta }^{T}x$$

对于每个样本：$y^{(i)}={\theta }^T{x}^{(i)}+{\epsilon }^{(i)}$

误差服从高斯分布：$p({\epsilon }^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}exp(-\frac{({\epsilon }^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2})$

整合：$p$