主成分分析法简介

一. 概念介绍

1.1 简介

在对数据进行处理计算时，往往会因为数据的特征值过多而导致计算量大、训练时间长、性能消耗大等问题，这是因为数据维度高导致的计算困难，而主成分分析法（PCA）就是一种数据降维的方法，它通过将原始高维数据映射到一个新的低维空间，从而减少数据的维度，同时尽可能保留原始数据的主要信息。

1.2 流程

1. 标准化数据：将数据标准化，使得每个特征的均值为0，方差为1。这是为了消除不同量纲的影响。
2. 计算协方差矩阵：计算标准化数据的协方差矩阵，反映不同特征之间的线性相关性。
3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征向量表示主成分的方向，特征值表示沿着该主成分方向的数据变异性。
4. 选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，这些主成分对应的数据变异性最大。
5. 转换数据：将原始数据投影到选定的主成分上，从而得到降维后的数据。

1.3 效果

1. 降维：减少数据的维度，降低数据的复杂性，便于后续处理和分析。
2. 去噪：通过保留主要的变异性，去除噪声和冗余信息，提高数据的质量。
3. 可视化：将高维数据投影到2D或3D空间，便于可视化和理解数据结构。

二. 代码实现

import numpy as np

def pca(X, num_components):
    # 标准化数据
    X_meaned = X - np.mean(X, axis=0)
    
    # 计算协方差矩阵
    cov_matrix = np.cov(X_meaned, rowvar=False)
    
    # 计算特征值和特征向量
    eigen_values, eigen_vectors = np.linalg.eigh(cov_matrix)
    
    # 按特征值降序排列特征向量
    sorted_index = np.argsort(eigen_values)[::-1]
    sorted_eigenvalue = eigen_values[sorted_index]
    sorted_eigenvectors = eigen_vectors[:, sorted_index]
    
    # 选择前k个特征向量
    eigenvector_subset = sorted_eigenvectors[:, 0:num_components]
    
    # 转换数据
    X_reduced = np.dot(eigenvector_subset.transpose(), X_meaned.transpose()).transpose()
    
    return X_reduced

# 示例数据
X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9], [1.9, 2.2], [3.1, 3.0], [2.3, 2.7], [2, 1.6], [1, 1.1], [1.5, 1.6], [1.1, 0.9]])

# 应用PCA，降到1维
X_reduced = pca(X, 1)
print("降维后的数据：\n", X_reduced)