欧几里得gcd与拓展欧几里得exgcd

欧几里得算法求gcd

辗转相除法 求两个数的最大公约数

int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

证明（来自百度百科）
其计算原理依赖于下面的定理：
定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD。
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)
证法一
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r
因此d也是b,a mod b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。
进而d|a.因此d也是a,b的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

最小公倍数与最大公约数关系

lcm(a,b) * gcd(a,b) = a*b

证明：
设x=gcd(a,b),y=lcm(a,b)
则a=mx,b=nx,m与n互质
故y=mnx
因此xy=x(mnx)=(mx)(nx)=ab即a*b=gcd(a,b)*lcm(a,b)

注意：如果直接写
lcm = ab / gcd
可能会爆 ab 可能会溢出 正确的做法是先除再乘

lcm  = a/gcd * b;

拓展欧几里得初步，有空再看还有逆元

这篇模板都写了

这篇过程讲的挺好
这篇也不错
以下内容转载自：
这篇把通解讲的挺好，但是程序模板写的太高级了，看不太懂

什么是拓展欧几里得？简单的说，就是求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解

现在我们令g = gcd(a,b)
则方程变成了ax + by = g
假如我们现在知道了关于这个方程的一个特解x0, y0，我们就可以用一种方法求出所有的整数解。
说的比较模糊，现在整理一下。
上面提到了两个问题
一、怎么求出这个特解？
二、怎么由特解推出其它的所有解？

一、求特解
我们知道，欧几里得公式可以由这个式子表示：
gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
不断往下连等，直到b = 0，此时a即为最大公约数
那么我们来讨论另一个问题，下面两个式子有没有关系呢？

a * x1 + b * y1 = g(a,b)
b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)

如果看这篇博客的你还没接触过拓展欧几里得，那么可能你还不知道现在在干什么。
那么，我可以告诉你，只要找出x1和x2的关系、y1和y2的关系，我们就能求出方程a * x + b * y = g的一个特解

回到刚才那个问题，很显然，两个等式右边就是欧几里得的公式
那么我们就能得出
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2
其中a%b可以换成a-(a/b)*b
式子变成了
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2
因为我们要找x1 y1和x2 y2的关系
我们可以用待定系数法，按照这种方法把右边化成b * (x2 - (a / b) * y2) + a * y2
则等式变成了
a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2)
(上面的过程最好动手演算)
好，我们现在得出了下面两个等式：
x1 = y2（等式两边a的系数相同）
y1 = x2 - (a / b) * y2 （等式两边b的系数相同）
也就是说，我们知道了方程b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b) 的解x2, y2，就可以得到方程a * x1 + b * y1 = g(a,b) 的解x1,y1了，这个小问题告一段落。

对于方程a * x + b * y = gcd(a,b)，我们可以不断的往下变成b * x + (a % b) y = gcd(a,b) ，按照欧几里得的过程，b会变成0，即此时方程a * x + b * y = gcd(a,b) 因为b = 0，变成了a * x = gcd(a,b) ，还是由欧几里得算法得到，此时a就等于gcd(a,b)，所以得到由原方程往下推了不知道多少次的方程 a * x = gcd(a,b) 来说，得到一个解x = 1, y = 0。现在得到了这个方程的解，再回溯回去，就可以得出原方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的一个特解。

OK，这个问题解决了。

二、怎么利用特解推出其他所有整数解？
先说结论：
对于关于x，y的方程a * x + b * y = g 来说，让x增加b/g，让y减少a/g，等式两边还相等。（注意一个增加一个减少）
为什么呢？
这个很容易得到，我们算一下即可。
让x增加b/g，对于a * x这一项来说，增加了a * b / g，可以看出这是a,b的最小公倍数
同样，对于b * y这一项来说，y 减少 a/b，这一项增加了a * b / g，同样是a,b的最小公倍数。
可以看出，这两项一项增加了一个最小公倍数，一项减少了一个最小公倍数，加起来的和仍然等于g。
这样我们就明白了，其实这种操作就是增加一个最小公倍数，减少一个最小公倍数，这样来改变x,y的值，来求出所有x,y的通解的。

那为什么改变的是最小公倍数而不是更小的数呢？因为是 最小 公倍数呀…不会再找到更小的值了，这个自行体会吧…

到这里为止，开头提出的两个问题都已经解决。
也就是说，对于方程a * x + b * y = gcd(a,b)，我们能找出所有符合条件的解了。而且，还可以告诉你，这个方程是一定有无数个解的。

那么来一个更一般的问题，对于方程a * x + b * y = c 来说，它的解怎么求呢？
答：如果c % gcd(a,b) != 0，即c不是gcd的整数倍，则无解。
如果c % gcd(a,b) == 0 且 c / gcd(a,b) = t，那么求出方程 a * x + b * y = gcd(a,b)的所有解x,y，将x,y乘上t，对应的x’,y’即是方程a * x + b * y = t * gcd(a,b)的解
很好理解，就不解释了，仔细看上面的这段话就能理解

附上拓展欧几里得的代码

void e_gcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		gcd = a;
	}
	else
	{
		e_gcd(b, a % b, gcd, y, x);
		y -= x * (a / b)
	}
}