寺庙逃脱

题目大意

有q个询问，每个询问给出
给出a[0]=k，和递推式

$$a[n]=\frac{A*a[n-1]+B}{C*a[n-1]+D}$$
求a[n] mod p的值。
数据范围$q<=10^4,n<=10^{18},p<=10^9,|A,B,C,D|<p,保证p为素数$

矩阵乘法

$a[n+1]=\frac{A*a[n]+B}{C*a[n]+D}$

考虑往下代入递推式

$a[n+1]=\frac{A*\frac{A*a[n-1]+B}{C*a[n-1]+D}+B}{C*\frac{A*a[n-1]+B}{C*a[n-1]+D}+D}$

分子分母同时乘上C*a[n-1]+D，于是

$a[n+1]=\frac{A*(A*a[n-1]+B)+B*(C*a[n-1]+D)}{C*(A*a[n-1]+B)+D*(C*a[n-1]+D)}$

提出a[n-1]

$a[n+1]=\frac{(A^2+B*C)*a[n-1]+A*B+B*D}{(A*C+D*C)*a[n-1]+B*C+D^2}$

容易发现A,B,C,D的转移矩阵是固定的。
然后就可以用矩阵乘法加快速幂。
逆元就随意搞搞就行啦。

代码

我脑残打成了4*4的转移矩阵，其实2*2的就行了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
ll n,k,a,b,c,d,p;
int read(ll &n){
    char ch=getchar();
    while((ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9')))ch=getchar();
    ll q=0,w=1;if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')q=q*10+ch-48,ch=getchar();n=q*w;
}
struct ju{
    ll w[5][5];
} f,g,one;
ju operator *(ju a,ju b){
    ju c;
    memset(c.w,0,sizeof(c.w));
    for (int i=1;i<=4;i++)
    for (int k=1;k<=4;k++)
    for (int j=1;j<=4;j++) {
    c.w[i][k]=(c.w[i][k]+a.w[i][j]*b.w[j][k]%p)%p;
    }
    return c;
}
ll qss(ll x,ll y){
    if (y==0) return 1;
    if (y==1) return x;
    ll s=qss(x,y/2);s=s*s%p;
    if (y%2==0) return s;
    s=s*x%p;return s;
}
ju qs(ju g,ll y){
    if (y==0) return one;
    if (y==1) return g;
    ju c=qs(g,y/2);c=c*c;
    if (y%2==0) return c;
    c=c*g;return c;
}
int main(){
    one.w[1][1]=one.w[2][2]=one.w[3][3]=one.w[4][4]=1;
    ll q;read(q);
    for (q=q;q>0;q--){
        read(k);read(a);read(b);read(c);read(d);read(n);read(p);
        if (n==0){printf("%lld",k);continue;}
        a=(a+p)%p;b=(b+p)%p;c=(c+p)%p;d=(d+p)%p;
        memset(g.w,0,sizeof(g.w));memset(f.w,0,sizeof(f.w));
        f.w[1][1]=a;f.w[1][2]=b;f.w[1][3]=c;f.w[1][4]=d;
        g.w[1][1]=a;g.w[1][2]=b;g.w[1][3]=g.w[2][1]=g.w[2][4]=c;
        g.w[2][2]=g.w[3][3]=g.w[4][4]=d;
        g=qs(g,n-1);
        f=f*g;
        ll s1=(f.w[1][1]*k+f.w[1][2])%p,s2=(f.w[1][3]*k+f.w[1][4])%p;
        s2=qss(s2,p-2);
        printf("%lld\n",s1*s2%p);
    }
}